Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68917 / 64909
↖ ↑ ↗
← N  1.721848°
E  9.286194°		 ← 305.22 m → N  1.721848°
E  9.288940°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  1.719103°
E  9.286194°		 ← 305.22 m →
93 165 m²		 N  1.719103°
E  9.288940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525798797607422 y=0.495220184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525798797607422 × 217)
    floor (0.525798797607422 × 131072)
    floor (68917.5)     		tx = 68917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495220184326172 × 217)
    floor (0.495220184326172 × 131072)
    floor (64909.5)     		ty = 64909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68917 / 64909 ti = "17/68917/64909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68917/64909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68917 ÷ 217
    68917 ÷ 131072     		x = 0.525794982910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64909 ÷ 217
    64909 ÷ 131072     		y = 0.495216369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525794982910156 × 2 - 1) × π
    0.0515899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16207466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495216369628906 × 2 - 1) × π
    0.0095672607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0300564360617752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16207466} λ = 0.16207466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0300564360617752))-π/2
    2×atan(1.0305126903903)-π/2
    2×0.800424119217215-π/2
    1.60084823843443-1.57079632675     		φ = 0.03005191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16207466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.286194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03005191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.721848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68917 KachelY 64909 0.16207466 0.03005191 9.286194 1.721848
    Oben rechts KachelX + 1 68918 KachelY 64909 0.16212259 0.03005191 9.288940 1.721848
    Unten links KachelX 68917 KachelY + 1 64910 0.16207466 0.03000400 9.286194 1.719103
    Unten rechts KachelX + 1 68918 KachelY + 1 64910 0.16212259 0.03000400 9.288940 1.719103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03005191-0.03000400) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03005191-0.03000400) × R
    4.79100000000017e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16207466-0.16212259) × cos(0.03005191) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999548475335855 × 6371000     		do = 305.224151511972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16207466-0.16212259) × cos(0.03000400) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99954991375899 × 6371000     		du = 305.22459075178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03005191)-sin(0.03000400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999548475335855-0.99954991375899)×R²
    abs(0.16212259-0.16207466)×1.43842313538034e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.43842313538034e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43842313538034e-06×40589641000000     		ar = 93165.0419027544m²