Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68916 / 72992
↖ ↑ ↗
← S 20.055932°
E  9.283447°		 ← 286.90 m → S 20.055932°
E  9.286194°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
S 20.058511°
E  9.283447°		 ← 286.90 m →
82 290 m²		 S 20.058511°
E  9.286194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525791168212891 y=0.556888580322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525791168212891 × 217)
    floor (0.525791168212891 × 131072)
    floor (68916.5)     		tx = 68916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556888580322266 × 217)
    floor (0.556888580322266 × 131072)
    floor (72992.5)     		ty = 72992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68916 / 72992 ti = "17/68916/72992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68916/72992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68916 ÷ 217
    68916 ÷ 131072     		x = 0.525787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72992 ÷ 217
    72992 ÷ 131072     		y = 0.556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525787353515625 × 2 - 1) × π
    0.05157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16202672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.357417523567139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16202672} λ = 0.16202672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357417523567139))-π/2
    2×atan(0.699480387210929)-π/2
    2×0.610377145836589-π/2
    1.22075429167318-1.57079632675     		φ = -0.35004204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16202672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.283447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35004204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.055932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68916 KachelY 72992 0.16202672 -0.35004204 9.283447 -20.055932
    Oben rechts KachelX + 1 68917 KachelY 72992 0.16207466 -0.35004204 9.286194 -20.055932
    Unten links KachelX 68916 KachelY + 1 72993 0.16202672 -0.35008706 9.283447 -20.058511
    Unten rechts KachelX + 1 68917 KachelY + 1 72993 0.16207466 -0.35008706 9.286194 -20.058511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35004204--0.35008706) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35004204--0.35008706) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16202672-0.16207466) × cos(-0.35004204) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939358296593452 × 6371000     		do = 286.904202862173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16202672-0.16207466) × cos(-0.35008706) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939342856604338 × 6371000     		du = 286.899487092072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35004204)-sin(-0.35008706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939358296593452-0.939342856604338)×R²
    abs(0.16207466-0.16202672)×1.54399891137968e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.54399891137968e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.54399891137968e-05×40589641000000     		ar = 82289.8814926371m²