Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68916 / 69317
↖ ↑ ↗
← S 10.328430°
E  9.283447°		 ← 300.48 m → S 10.328430°
E  9.286194°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.331132°
E  9.283447°		 ← 300.47 m →
90 280 m²		 S 10.331132°
E  9.286194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525791168212891 y=0.528850555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525791168212891 × 217)
    floor (0.525791168212891 × 131072)
    floor (68916.5)     		tx = 68916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528850555419922 × 217)
    floor (0.528850555419922 × 131072)
    floor (69317.5)     		ty = 69317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68916 / 69317 ti = "17/68916/69317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68916/69317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68916 ÷ 217
    68916 ÷ 131072     		x = 0.525787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69317 ÷ 217
    69317 ÷ 131072     		y = 0.528846740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525787353515625 × 2 - 1) × π
    0.05157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16202672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528846740722656 × 2 - 1) × π
    -0.0576934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.181249417463432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16202672} λ = 0.16202672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181249417463432))-π/2
    2×atan(0.834227261897792)-π/2
    2×0.695265608711614-π/2
    1.39053121742323-1.57079632675     		φ = -0.18026511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16202672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.283447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18026511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.328430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68916 KachelY 69317 0.16202672 -0.18026511 9.283447 -10.328430
    Oben rechts KachelX + 1 68917 KachelY 69317 0.16207466 -0.18026511 9.286194 -10.328430
    Unten links KachelX 68916 KachelY + 1 69318 0.16202672 -0.18031227 9.283447 -10.331132
    Unten rechts KachelX + 1 68917 KachelY + 1 69318 0.16207466 -0.18031227 9.286194 -10.331132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18026511--0.18031227) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dl = 300.45635999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18026511--0.18031227) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dr = 300.45635999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16202672-0.16207466) × cos(-0.18026511) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98379619568457 × 6371000     		do = 300.476681076122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16202672-0.16207466) × cos(-0.18031227) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983787739255582 × 6371000     		du = 300.47409826504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18026511)-sin(-0.18031227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98379619568457-0.983787739255582)×R²
    abs(0.16207466-0.16202672)×8.45642898839039e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.45642898839039e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.45642898839039e-06×40589641000000     		ar = 90279.7418667196m²