Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68913 / 64849
↖ ↑ ↗
← N  1.886561°
E  9.275208°		 ← 305.26 m → N  1.886561°
E  9.277954°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  1.883816°
E  9.275208°		 ← 305.26 m →
93 176 m²		 N  1.883816°
E  9.277954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525768280029297 y=0.494762420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525768280029297 × 217)
    floor (0.525768280029297 × 131072)
    floor (68913.5)     		tx = 68913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494762420654297 × 217)
    floor (0.494762420654297 × 131072)
    floor (64849.5)     		ty = 64849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68913 / 64849 ti = "17/68913/64849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68913/64849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68913 ÷ 217
    68913 ÷ 131072     		x = 0.525764465332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64849 ÷ 217
    64849 ÷ 131072     		y = 0.494758605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525764465332031 × 2 - 1) × π
    0.0515289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16188291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494758605957031 × 2 - 1) × π
    0.0104827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0329326500389786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16188291} λ = 0.16188291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0329326500389786))-π/2
    2×atan(1.03348093199682)-π/2
    2×0.801861512772348-π/2
    1.6037230255447-1.57079632675     		φ = 0.03292670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16188291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.275208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03292670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.886561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68913 KachelY 64849 0.16188291 0.03292670 9.275208 1.886561
    Oben rechts KachelX + 1 68914 KachelY 64849 0.16193085 0.03292670 9.277954 1.886561
    Unten links KachelX 68913 KachelY + 1 64850 0.16188291 0.03287879 9.275208 1.883816
    Unten rechts KachelX + 1 68914 KachelY + 1 64850 0.16193085 0.03287879 9.277954 1.883816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03292670-0.03287879) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03292670-0.03287879) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16188291-0.16193085) × cos(0.03292670) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99945796518759 × 6371000     		do = 305.260188616291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16188291-0.16193085) × cos(0.03287879) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999459541273691 × 6371000     		du = 305.260669993554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03292670)-sin(0.03287879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99945796518759-0.999459541273691)×R²
    abs(0.16193085-0.16188291)×1.5760861008518e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.5760861008518e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.5760861008518e-06×40589641000000     		ar = 93176.048105153m²