Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68911 / 72971
↖ ↑ ↗
← S 20.001741°
E  9.269715°		 ← 286.94 m → S 20.001741°
E  9.272461°		 →
↑
287.01 m
↓
↑
287.01 m
↓
S 20.004322°
E  9.269715°		 ← 286.94 m →
82 356 m²		 S 20.004322°
E  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525753021240234 y=0.556728363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525753021240234 × 217)
    floor (0.525753021240234 × 131072)
    floor (68911.5)     		tx = 68911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556728363037109 × 217)
    floor (0.556728363037109 × 131072)
    floor (72971.5)     		ty = 72971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68911 / 72971 ti = "17/68911/72971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68911/72971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68911 ÷ 217
    68911 ÷ 131072     		x = 0.525749206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72971 ÷ 217
    72971 ÷ 131072     		y = 0.556724548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525749206542969 × 2 - 1) × π
    0.0514984130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16178704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556724548339844 × 2 - 1) × π
    -0.113449096679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.356410848675118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16178704} λ = 0.16178704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.356410848675118))-π/2
    2×atan(0.700184891097887)-π/2
    2×0.610850041596188-π/2
    1.22170008319238-1.57079632675     		φ = -0.34909624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16178704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.269715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34909624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.001741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68911 KachelY 72971 0.16178704 -0.34909624 9.269715 -20.001741
    Oben rechts KachelX + 1 68912 KachelY 72971 0.16183497 -0.34909624 9.272461 -20.001741
    Unten links KachelX 68911 KachelY + 1 72972 0.16178704 -0.34914129 9.269715 -20.004322
    Unten rechts KachelX + 1 68912 KachelY + 1 72972 0.16183497 -0.34914129 9.272461 -20.004322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34909624--0.34914129) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dl = 287.013549999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34909624--0.34914129) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dr = 287.013549999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16178704-0.16183497) × cos(-0.34909624) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.939682226496258 × 6371000     		do = 286.943272237827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16178704-0.16183497) × cos(-0.34914129) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.939666816248783 × 6371000     		du = 286.938566533375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34909624)-sin(-0.34914129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939682226496258-0.939666816248783)×R²
    abs(0.16183497-0.16178704)×1.54102474757556e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.54102474757556e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.54102474757556e-05×40589641000000     		ar = 82355.9319270164m²