Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68911 / 44101
↖ ↑ ↗
← N 50.616360°
E  9.269715°		 ← 193.76 m → N 50.616360°
E  9.272461°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
N 50.614617°
E  9.269715°		 ← 193.76 m →
37 552 m²		 N 50.614617°
E  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525753021240234 y=0.336467742919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525753021240234 × 217)
    floor (0.525753021240234 × 131072)
    floor (68911.5)     		tx = 68911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336467742919922 × 217)
    floor (0.336467742919922 × 131072)
    floor (44101.5)     		ty = 44101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68911 / 44101 ti = "17/68911/44101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68911/44101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68911 ÷ 217
    68911 ÷ 131072     		x = 0.525749206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44101 ÷ 217
    44101 ÷ 131072     		y = 0.336463928222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525749206542969 × 2 - 1) × π
    0.0514984130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16178704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336463928222656 × 2 - 1) × π
    0.327072143554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.0275274433559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16178704} λ = 0.16178704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0275274433559))-π/2
    2×atan(2.79414859591536)-π/2
    2×1.2271092338547-π/2
    2.45421846770941-1.57079632675     		φ = 0.88342214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16178704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.269715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88342214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.616360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68911 KachelY 44101 0.16178704 0.88342214 9.269715 50.616360
    Oben rechts KachelX + 1 68912 KachelY 44101 0.16183497 0.88342214 9.272461 50.616360
    Unten links KachelX 68911 KachelY + 1 44102 0.16178704 0.88339172 9.269715 50.614617
    Unten rechts KachelX + 1 68912 KachelY + 1 44102 0.16183497 0.88339172 9.272461 50.614617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88342214-0.88339172) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dl = 193.805819999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88342214-0.88339172) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dr = 193.805819999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16178704-0.16183497) × cos(0.88342214) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.634509842151349 × 6371000     		do = 193.755213454322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16178704-0.16183497) × cos(0.88339172) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.634533353925433 × 6371000     		du = 193.762393057385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88342214)-sin(0.88339172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634509842151349-0.634533353925433)×R²
    abs(0.16183497-0.16178704)×2.35117740841062e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35117740841062e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35117740841062e-05×40589641000000     		ar = 37551.5837501697m²