Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68910 / 72972
↖ ↑ ↗
← S 20.004322°
E  9.266968°		 ← 287 m → S 20.004322°
E  9.269715°		 →
↑
286.95 m
↓
↑
286.95 m
↓
S 20.006903°
E  9.266968°		 ← 286.99 m →
82 353 m²		 S 20.006903°
E  9.269715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525745391845703 y=0.556735992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525745391845703 × 217)
    floor (0.525745391845703 × 131072)
    floor (68910.5)     		tx = 68910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556735992431641 × 217)
    floor (0.556735992431641 × 131072)
    floor (72972.5)     		ty = 72972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68910 / 72972 ti = "17/68910/72972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68910/72972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68910 ÷ 217
    68910 ÷ 131072     		x = 0.525741577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72972 ÷ 217
    72972 ÷ 131072     		y = 0.556732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525741577148438 × 2 - 1) × π
    0.051483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16173910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.11346435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.356458785574738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16173910} λ = 0.16173910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.356458785574738))-π/2
    2×atan(0.700151327209528)-π/2
    2×0.610827519054591-π/2
    1.22165503810918-1.57079632675     		φ = -0.34914129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16173910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.266968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34914129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.004322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68910 KachelY 72972 0.16173910 -0.34914129 9.266968 -20.004322
    Oben rechts KachelX + 1 68911 KachelY 72972 0.16178704 -0.34914129 9.269715 -20.004322
    Unten links KachelX 68910 KachelY + 1 72973 0.16173910 -0.34918633 9.266968 -20.006903
    Unten rechts KachelX + 1 68911 KachelY + 1 72973 0.16178704 -0.34918633 9.269715 -20.006903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34914129--0.34918633) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dl = 286.949839999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34914129--0.34918633) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dr = 286.949839999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16173910-0.16178704) × cos(-0.34914129) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939666816248783 × 6371000     		do = 286.998432706206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16173910-0.16178704) × cos(-0.34918633) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939651407515584 × 6371000     		du = 286.993726482467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34914129)-sin(-0.34918633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939666816248783-0.939651407515584)×R²
    abs(0.16178704-0.16173910)×1.54087331984964e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.54087331984964e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.54087331984964e-05×40589641000000     		ar = 82353.4791341347m²