Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68910 / 64915
↖ ↑ ↗
← N  1.705376°
E  9.266968°		 ← 305.29 m → N  1.705376°
E  9.269715°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.702630°
E  9.266968°		 ← 305.29 m →
93 205 m²		 N  1.702630°
E  9.269715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525745391845703 y=0.495265960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525745391845703 × 217)
    floor (0.525745391845703 × 131072)
    floor (68910.5)     		tx = 68910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495265960693359 × 217)
    floor (0.495265960693359 × 131072)
    floor (64915.5)     		ty = 64915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68910 / 64915 ti = "17/68910/64915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68910/64915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68910 ÷ 217
    68910 ÷ 131072     		x = 0.525741577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64915 ÷ 217
    64915 ÷ 131072     		y = 0.495262145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525741577148438 × 2 - 1) × π
    0.051483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16173910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495262145996094 × 2 - 1) × π
    0.0094757080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0297688146640549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16173910} λ = 0.16173910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0297688146640549))-π/2
    2×atan(1.03021633551096)-π/2
    2×0.800280372833273-π/2
    1.60056074566655-1.57079632675     		φ = 0.02976442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16173910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.266968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02976442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.705376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68910 KachelY 64915 0.16173910 0.02976442 9.266968 1.705376
    Oben rechts KachelX + 1 68911 KachelY 64915 0.16178704 0.02976442 9.269715 1.705376
    Unten links KachelX 68910 KachelY + 1 64916 0.16173910 0.02971650 9.266968 1.702630
    Unten rechts KachelX + 1 68911 KachelY + 1 64916 0.16178704 0.02971650 9.269715 1.702630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02976442-0.02971650) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02976442-0.02971650) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16173910-0.16178704) × cos(0.02976442) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999557072352378 × 6371000     		do = 305.290458495435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16173910-0.16178704) × cos(0.02971650) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999558497305139 × 6371000     		du = 305.290893712687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02976442)-sin(0.02971650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999557072352378-0.999558497305139)×R²
    abs(0.16178704-0.16173910)×1.4249527607868e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.4249527607868e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.4249527607868e-06×40589641000000     		ar = 93204.7305440663m²