Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 6891 / 7943
↖ ↑ ↗
← N 79.425316°
W142.146606°		 ← 112.09 m → N 79.425316°
W142.141113°		 →
↑
112.07 m
↓
↑
112.07 m
↓
N 79.424309°
W142.146606°		 ← 112.10 m →
12 562 m²		 N 79.424309°
W142.141113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105155944824219 y=0.121208190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105155944824219 × 216)
    floor (0.105155944824219 × 65536)
    floor (6891.5)     		tx = 6891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121208190917969 × 216)
    floor (0.121208190917969 × 65536)
    floor (7943.5)     		ty = 7943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6891 / 7943 ti = "16/6891/7943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6891/7943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6891 ÷ 216
    6891 ÷ 65536     		x = 0.105148315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7943 ÷ 216
    7943 ÷ 65536     		y = 0.121200561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.105148315429688 × 2 - 1) × π
    -0.789703369140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48092630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121200561523438 × 2 - 1) × π
    0.757598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38006706613579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48092630} λ = -2.48092630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38006706613579))-π/2
    2×atan(10.805627531314)-π/2
    2×1.47851480424803-π/2
    2.95702960849607-1.57079632675     		φ = 1.38623328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48092630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.146606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38623328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.425316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6891 KachelY 7943 -2.48092630 1.38623328 -142.146606 79.425316
    Oben rechts KachelX + 1 6892 KachelY 7943 -2.48083043 1.38623328 -142.141113 79.425316
    Unten links KachelX 6891 KachelY + 1 7944 -2.48092630 1.38621569 -142.146606 79.424309
    Unten rechts KachelX + 1 6892 KachelY + 1 7944 -2.48083043 1.38621569 -142.141113 79.424309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38623328-1.38621569) × R
    1.75899999999007e-05 × 6371000     		dl = 112.065889999368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38623328-1.38621569) × R
    1.75899999999007e-05 × 6371000     		dr = 112.065889999368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48092630--2.48083043) × cos(1.38623328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183517018836302 × 6371000     		do = 112.089950692071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48092630--2.48083043) × cos(1.38621569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183534310068723 × 6371000     		du = 112.100511965361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38623328)-sin(1.38621569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183517018836302-0.183534310068723)×R²
    abs(-2.48083043--2.48092630)×1.72912324204744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72912324204744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72912324204744e-05×40589641000000     		ar = 12562.0518636208m²