Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6891 / 5336
↖ ↑ ↗
← N 53.014783°
W 28.586426°		 ← 1 469.86 m → N 53.014783°
W 28.564453°		 →
↑
1 470.11 m
↓
↑
1 470.11 m
↓
N 53.001562°
W 28.586426°		 ← 1 470.31 m →
2 161 184 m²		 N 53.001562°
W 28.564453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420623779296875 y=0.325714111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420623779296875 × 214)
    floor (0.420623779296875 × 16384)
    floor (6891.5)     		tx = 6891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325714111328125 × 214)
    floor (0.325714111328125 × 16384)
    floor (5336.5)     		ty = 5336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6891 / 5336 ti = "14/6891/5336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6891/5336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6891 ÷ 214
    6891 ÷ 16384     		x = 0.42059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5336 ÷ 214
    5336 ÷ 16384     		y = 0.32568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32568359375 × 2 - 1) × π
    0.3486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09526228251904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49892725} λ = -0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09526228251904))-π/2
    2×atan(2.98996679658254)-π/2
    2×1.24803942332372-π/2
    2.49607884664743-1.57079632675     		φ = 0.92528252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92528252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.014783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6891 KachelY 5336 -0.49892725 0.92528252 -28.586426 53.014783
    Oben rechts KachelX + 1 6892 KachelY 5336 -0.49854376 0.92528252 -28.564453 53.014783
    Unten links KachelX 6891 KachelY + 1 5337 -0.49892725 0.92505177 -28.586426 53.001562
    Unten rechts KachelX + 1 6892 KachelY + 1 5337 -0.49854376 0.92505177 -28.564453 53.001562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92528252-0.92505177) × R
    0.000230749999999946 × 6371000     		dl = 1470.10824999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92528252-0.92505177) × R
    0.000230749999999946 × 6371000     		dr = 1470.10824999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49892725--0.49854376) × cos(0.92528252) × R
    0.000383489999999986 × 0.601608942028614 × 6371000     		do = 1469.85986496051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49892725--0.49854376) × cos(0.92505177) × R
    0.000383489999999986 × 0.601793246978722 × 6371000     		du = 1470.31016154048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92528252)-sin(0.92505177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601608942028614-0.601793246978722)×R²
    abs(-0.49854376--0.49892725)×0.000184304950108016×R²
    0.000383489999999986×0.000184304950108016×6371000²
    0.000383489999999986×0.000184304950108016×40589641000000     		ar = 2161184.11576993m²