Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6891 / 2149
↖ ↑ ↗
← N 78.746372°
W 28.586426°		 ← 476.80 m → N 78.746372°
W 28.564453°		 →
↑
476.87 m
↓
↑
476.87 m
↓
N 78.742083°
W 28.586426°		 ← 476.98 m →
227 414 m²		 N 78.742083°
W 28.564453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420623779296875 y=0.131195068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420623779296875 × 214)
    floor (0.420623779296875 × 16384)
    floor (6891.5)     		tx = 6891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131195068359375 × 214)
    floor (0.131195068359375 × 16384)
    floor (2149.5)     		ty = 2149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6891 / 2149 ti = "14/6891/2149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6891/2149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6891 ÷ 214
    6891 ÷ 16384     		x = 0.42059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2149 ÷ 214
    2149 ÷ 16384     		y = 0.13116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13116455078125 × 2 - 1) × π
    0.7376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31746147523199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49892725} λ = -0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31746147523199))-π/2
    2×atan(10.1498758636627)-π/2
    2×1.4725898945183-π/2
    2.94517978903661-1.57079632675     		φ = 1.37438346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37438346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.746372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6891 KachelY 2149 -0.49892725 1.37438346 -28.586426 78.746372
    Oben rechts KachelX + 1 6892 KachelY 2149 -0.49854376 1.37438346 -28.564453 78.746372
    Unten links KachelX 6891 KachelY + 1 2150 -0.49892725 1.37430861 -28.586426 78.742083
    Unten rechts KachelX + 1 6892 KachelY + 1 2150 -0.49854376 1.37430861 -28.564453 78.742083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37438346-1.37430861) × R
    7.48500000000707e-05 × 6371000     		dl = 476.86935000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37438346-1.37430861) × R
    7.48500000000707e-05 × 6371000     		dr = 476.86935000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49892725--0.49854376) × cos(1.37438346) × R
    0.000383489999999986 × 0.195152430780161 × 6371000     		do = 476.799305186525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49892725--0.49854376) × cos(1.37430861) × R
    0.000383489999999986 × 0.195225841086793 × 6371000     		du = 476.978662333426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37438346)-sin(1.37430861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195152430780161-0.195225841086793)×R²
    abs(-0.49854376--0.49892725)×7.34103066317715e-05×R²
    0.000383489999999986×7.34103066317715e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.34103066317715e-05×40589641000000     		ar = 227413.739813958m²