Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6891 / 2125
↖ ↑ ↗
← N 78.848821°
W 28.586426°		 ← 472.51 m → N 78.848821°
W 28.564453°		 →
↑
472.60 m
↓
↑
472.60 m
↓
N 78.844571°
W 28.586426°		 ← 472.69 m →
223 352 m²		 N 78.844571°
W 28.564453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420623779296875 y=0.129730224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420623779296875 × 214)
    floor (0.420623779296875 × 16384)
    floor (6891.5)     		tx = 6891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129730224609375 × 214)
    floor (0.129730224609375 × 16384)
    floor (2125.5)     		ty = 2125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6891 / 2125 ti = "14/6891/2125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6891/2125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6891 ÷ 214
    6891 ÷ 16384     		x = 0.42059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2125 ÷ 214
    2125 ÷ 16384     		y = 0.12969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12969970703125 × 2 - 1) × π
    0.7406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32666535995905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49892725} λ = -0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32666535995905))-π/2
    2×atan(10.2437253786545)-π/2
    2×1.47348393298889-π/2
    2.94696786597779-1.57079632675     		φ = 1.37617154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37617154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.848821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6891 KachelY 2125 -0.49892725 1.37617154 -28.586426 78.848821
    Oben rechts KachelX + 1 6892 KachelY 2125 -0.49854376 1.37617154 -28.564453 78.848821
    Unten links KachelX 6891 KachelY + 1 2126 -0.49892725 1.37609736 -28.586426 78.844571
    Unten rechts KachelX + 1 6892 KachelY + 1 2126 -0.49854376 1.37609736 -28.564453 78.844571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37617154-1.37609736) × R
    7.41800000001458e-05 × 6371000     		dl = 472.600780000929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37617154-1.37609736) × R
    7.41800000001458e-05 × 6371000     		dr = 472.600780000929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49892725--0.49854376) × cos(1.37617154) × R
    0.000383489999999986 × 0.193398419290902 × 6371000     		do = 472.513878374137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49892725--0.49854376) × cos(1.37609736) × R
    0.000383489999999986 × 0.193471198262901 × 6371000     		du = 472.691693034926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37617154)-sin(1.37609736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193398419290902-0.193471198262901)×R²
    abs(-0.49854376--0.49892725)×7.27789719987548e-05×R²
    0.000383489999999986×7.27789719987548e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.27789719987548e-05×40589641000000     		ar = 223352.445256878m²