Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68909 / 69913
↖ ↑ ↗
← S 11.934540°
E  9.264221°		 ← 298.82 m → S 11.934540°
E  9.266968°		 →
↑
298.80 m
↓
↑
298.80 m
↓
S 11.937227°
E  9.264221°		 ← 298.82 m →
89 288 m²		 S 11.937227°
E  9.266968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525737762451172 y=0.533397674560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525737762451172 × 217)
    floor (0.525737762451172 × 131072)
    floor (68909.5)     		tx = 68909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533397674560547 × 217)
    floor (0.533397674560547 × 131072)
    floor (69913.5)     		ty = 69913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68909 / 69913 ti = "17/68909/69913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68909/69913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68909 ÷ 217
    68909 ÷ 131072     		x = 0.525733947753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69913 ÷ 217
    69913 ÷ 131072     		y = 0.533393859863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525733947753906 × 2 - 1) × π
    0.0514678955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16169116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533393859863281 × 2 - 1) × π
    -0.0667877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.209819809636986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16169116} λ = 0.16169116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.209819809636986))-π/2
    2×atan(0.810730318599767)-π/2
    2×0.681249658440734-π/2
    1.36249931688147-1.57079632675     		φ = -0.20829701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16169116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.264221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20829701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.934540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68909 KachelY 69913 0.16169116 -0.20829701 9.264221 -11.934540
    Oben rechts KachelX + 1 68910 KachelY 69913 0.16173910 -0.20829701 9.266968 -11.934540
    Unten links KachelX 68909 KachelY + 1 69914 0.16169116 -0.20834391 9.264221 -11.937227
    Unten rechts KachelX + 1 68910 KachelY + 1 69914 0.16173910 -0.20834391 9.266968 -11.937227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20829701--0.20834391) × R
    4.68999999999886e-05 × 6371000     		dl = 298.799899999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20829701--0.20834391) × R
    4.68999999999886e-05 × 6371000     		dr = 298.799899999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16169116-0.16173910) × cos(-0.20829701) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.978384501447359 × 6371000     		do = 298.823810359068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16169116-0.16173910) × cos(-0.20834391) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.978374801731722 × 6371000     		du = 298.820847816242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20829701)-sin(-0.20834391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978384501447359-0.978374801731722)×R²
    abs(0.16173910-0.16169116)×9.69971563691274e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.69971563691274e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.69971563691274e-06×40589641000000     		ar = 89288.0820654722m²