Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68907 / 44541
↖ ↑ ↗
← N 49.843296°
E  9.258728°		 ← 196.96 m → N 49.843296°
E  9.261475°		 →
↑
196.93 m
↓
↑
196.93 m
↓
N 49.841525°
E  9.258728°		 ← 196.97 m →
38 788 m²		 N 49.841525°
E  9.261475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525722503662109 y=0.339824676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525722503662109 × 217)
    floor (0.525722503662109 × 131072)
    floor (68907.5)     		tx = 68907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339824676513672 × 217)
    floor (0.339824676513672 × 131072)
    floor (44541.5)     		ty = 44541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68907 / 44541 ti = "17/68907/44541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68907/44541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68907 ÷ 217
    68907 ÷ 131072     		x = 0.525718688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44541 ÷ 217
    44541 ÷ 131072     		y = 0.339820861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525718688964844 × 2 - 1) × π
    0.0514373779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16159529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339820861816406 × 2 - 1) × π
    0.320358276367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.00643520752308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16159529} λ = 0.16159529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00643520752308))-π/2
    2×atan(2.73583094166225)-π/2
    2×1.22036297946074-π/2
    2.44072595892147-1.57079632675     		φ = 0.86992963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16159529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.258728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86992963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.843296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68907 KachelY 44541 0.16159529 0.86992963 9.258728 49.843296
    Oben rechts KachelX + 1 68908 KachelY 44541 0.16164323 0.86992963 9.261475 49.843296
    Unten links KachelX 68907 KachelY + 1 44542 0.16159529 0.86989872 9.258728 49.841525
    Unten rechts KachelX + 1 68908 KachelY + 1 44542 0.16164323 0.86989872 9.261475 49.841525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86992963-0.86989872) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dl = 196.927609999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86992963-0.86989872) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dr = 196.927609999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16159529-0.16164323) × cos(0.86992963) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.644880331470685 × 6371000     		do = 196.963052450864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16159529-0.16164323) × cos(0.86989872) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.644903955167412 × 6371000     		du = 196.970267735919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86992963)-sin(0.86989872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644880331470685-0.644903955167412)×R²
    abs(0.16164323-0.16159529)×2.36236967269265e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36236967269265e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36236967269265e-05×40589641000000     		ar = 38788.1736250066m²