Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68905 / 44117
↖ ↑ ↗
← N 50.588468°
E  9.253235°		 ← 193.91 m → N 50.588468°
E  9.255981°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
N 50.586724°
E  9.253235°		 ← 193.92 m →
37 594 m²		 N 50.586724°
E  9.255981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525707244873047 y=0.336589813232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525707244873047 × 217)
    floor (0.525707244873047 × 131072)
    floor (68905.5)     		tx = 68905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336589813232422 × 217)
    floor (0.336589813232422 × 131072)
    floor (44117.5)     		ty = 44117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68905 / 44117 ti = "17/68905/44117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68905/44117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68905 ÷ 217
    68905 ÷ 131072     		x = 0.525703430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44117 ÷ 217
    44117 ÷ 131072     		y = 0.336585998535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525703430175781 × 2 - 1) × π
    0.0514068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16149941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336585998535156 × 2 - 1) × π
    0.326828002929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.02676045296198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16149941} λ = 0.16149941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02676045296198))-π/2
    2×atan(2.79200633243588)-π/2
    2×1.22686583024778-π/2
    2.45373166049556-1.57079632675     		φ = 0.88293533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16149941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.253235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88293533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.588468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68905 KachelY 44117 0.16149941 0.88293533 9.253235 50.588468
    Oben rechts KachelX + 1 68906 KachelY 44117 0.16154735 0.88293533 9.255981 50.588468
    Unten links KachelX 68905 KachelY + 1 44118 0.16149941 0.88290490 9.253235 50.586724
    Unten rechts KachelX + 1 68906 KachelY + 1 44118 0.16154735 0.88290490 9.255981 50.586724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88293533-0.88290490) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88293533-0.88290490) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16149941-0.16154735) × cos(0.88293533) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.634886029597175 × 6371000     		do = 193.910535405364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16149941-0.16154735) × cos(0.88290490) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.63490953969786 × 6371000     		du = 193.917715995263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88293533)-sin(0.88290490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634886029597175-0.63490953969786)×R²
    abs(0.16154735-0.16149941)×2.35101006853533e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35101006853533e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35101006853533e-05×40589641000000     		ar = 37594.0404126715m²