Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68904 / 69914
↖ ↑ ↗
← S 11.937227°
E  9.250488°		 ← 298.76 m → S 11.937227°
E  9.253235°		 →
↑
298.80 m
↓
↑
298.80 m
↓
S 11.939914°
E  9.250488°		 ← 298.76 m →
89 269 m²		 S 11.939914°
E  9.253235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525699615478516 y=0.533405303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525699615478516 × 217)
    floor (0.525699615478516 × 131072)
    floor (68904.5)     		tx = 68904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533405303955078 × 217)
    floor (0.533405303955078 × 131072)
    floor (69914.5)     		ty = 69914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68904 / 69914 ti = "17/68904/69914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68904/69914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68904 ÷ 217
    68904 ÷ 131072     		x = 0.52569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69914 ÷ 217
    69914 ÷ 131072     		y = 0.533401489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52569580078125 × 2 - 1) × π
    0.0513916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16145148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533401489257812 × 2 - 1) × π
    -0.066802978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.209867746536606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16145148} λ = 0.16145148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.209867746536606))-π/2
    2×atan(0.810691455633358)-π/2
    2×0.681226208197157-π/2
    1.36245241639431-1.57079632675     		φ = -0.20834391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16145148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.250488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20834391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.937227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68904 KachelY 69914 0.16145148 -0.20834391 9.250488 -11.937227
    Oben rechts KachelX + 1 68905 KachelY 69914 0.16149941 -0.20834391 9.253235 -11.937227
    Unten links KachelX 68904 KachelY + 1 69915 0.16145148 -0.20839081 9.250488 -11.939914
    Unten rechts KachelX + 1 68905 KachelY + 1 69915 0.16149941 -0.20839081 9.253235 -11.939914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20834391--0.20839081) × R
    4.69000000000164e-05 × 6371000     		dl = 298.799900000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20834391--0.20839081) × R
    4.69000000000164e-05 × 6371000     		dr = 298.799900000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16145148-0.16149941) × cos(-0.20834391) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978374801731722 × 6371000     		do = 298.758515557656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16145148-0.16149941) × cos(-0.20839081) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978365099864042 × 6371000     		du = 298.755552975647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20834391)-sin(-0.20839081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978374801731722-0.978365099864042)×R²
    abs(0.16149941-0.16145148)×9.701867679901e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.701867679901e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.701867679901e-06×40589641000000     		ar = 89268.5719796085m²