Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68901 / 69915
↖ ↑ ↗
← S 11.939914°
E  9.242249°		 ← 298.76 m → S 11.939914°
E  9.244995°		 →
↑
298.80 m
↓
↑
298.80 m
↓
S 11.942601°
E  9.242249°		 ← 298.75 m →
89 268 m²		 S 11.942601°
E  9.244995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525676727294922 y=0.533412933349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525676727294922 × 217)
    floor (0.525676727294922 × 131072)
    floor (68901.5)     		tx = 68901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533412933349609 × 217)
    floor (0.533412933349609 × 131072)
    floor (69915.5)     		ty = 69915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68901 / 69915 ti = "17/68901/69915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68901/69915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68901 ÷ 217
    68901 ÷ 131072     		x = 0.525672912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69915 ÷ 217
    69915 ÷ 131072     		y = 0.533409118652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525672912597656 × 2 - 1) × π
    0.0513458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16130767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533409118652344 × 2 - 1) × π
    -0.0668182373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.209915683436226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16130767} λ = 0.16130767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.209915683436226))-π/2
    2×atan(0.810652594529874)-π/2
    2×0.681202758186093-π/2
    1.36240551637219-1.57079632675     		φ = -0.20839081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16130767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.242249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20839081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.939914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68901 KachelY 69915 0.16130767 -0.20839081 9.242249 -11.939914
    Oben rechts KachelX + 1 68902 KachelY 69915 0.16135560 -0.20839081 9.244995 -11.939914
    Unten links KachelX 68901 KachelY + 1 69916 0.16130767 -0.20843771 9.242249 -11.942601
    Unten rechts KachelX + 1 68902 KachelY + 1 69916 0.16135560 -0.20843771 9.244995 -11.942601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20839081--0.20843771) × R
    4.68999999999886e-05 × 6371000     		dl = 298.799899999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20839081--0.20843771) × R
    4.68999999999886e-05 × 6371000     		dr = 298.799899999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16130767-0.16135560) × cos(-0.20839081) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978365099864042 × 6371000     		do = 298.755552975647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16130767-0.16135560) × cos(-0.20843771) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978355395844341 × 6371000     		du = 298.752589736491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20839081)-sin(-0.20843771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978365099864042-0.978355395844341)×R²
    abs(0.16135560-0.16130767)×9.70401970157297e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.70401970157297e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.70401970157297e-06×40589641000000     		ar = 89267.6866621002m²