Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 689 / 1487
↖ ↑ ↗
← S 62.835089°
W 58.886719°		 ← 8 923.78 m → S 62.835089°
W 58.710938°		 →
↑
8 911.63 m
↓
↑
8 911.63 m
↓
S 62.915233°
W 58.886719°		 ← 8 899.44 m →
79 416 950 m²		 S 62.915233°
W 58.710938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.336669921875 y=0.726318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.336669921875 × 211)
    floor (0.336669921875 × 2048)
    floor (689.5)     		tx = 689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726318359375 × 211)
    floor (0.726318359375 × 2048)
    floor (1487.5)     		ty = 1487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 689 / 1487 ti = "11/689/1487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/689/1487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 689 ÷ 211
    689 ÷ 2048     		x = 0.33642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1487 ÷ 211
    1487 ÷ 2048     		y = 0.72607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33642578125 × 2 - 1) × π
    -0.3271484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.02776713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72607421875 × 2 - 1) × π
    -0.4521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4204662095415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02776713} λ = -1.02776713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4204662095415))-π/2
    2×atan(0.241601353780394)-π/2
    2×0.237058568890198-π/2
    0.474117137780395-1.57079632675     		φ = -1.09667919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02776713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.886719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09667919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.835089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 689 KachelY 1487 -1.02776713 -1.09667919 -58.886719 -62.835089
    Oben rechts KachelX + 1 690 KachelY 1487 -1.02469917 -1.09667919 -58.710938 -62.835089
    Unten links KachelX 689 KachelY + 1 1488 -1.02776713 -1.09807797 -58.886719 -62.915233
    Unten rechts KachelX + 1 690 KachelY + 1 1488 -1.02469917 -1.09807797 -58.710938 -62.915233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09667919--1.09807797) × R
    0.00139878000000015 × 6371000     		dl = 8911.62738000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09667919--1.09807797) × R
    0.00139878000000015 × 6371000     		dr = 8911.62738000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02776713--1.02469917) × cos(-1.09667919) × R
    0.00306795999999987 × 0.456553145222833 × 6371000     		do = 8923.7755226387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02776713--1.02469917) × cos(-1.09807797) × R
    0.00306795999999987 × 0.455308209816203 × 6371000     		du = 8899.44204859478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09667919)-sin(-1.09807797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456553145222833-0.455308209816203)×R²
    abs(-1.02469917--1.02776713)×0.00124493540662957×R²
    0.00306795999999987×0.00124493540662957×6371000²
    0.00306795999999987×0.00124493540662957×40589641000000     		ar = 79416949.8025905m²