Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68899 / 72991
↖ ↑ ↗
← S 20.053351°
E  9.236755°		 ← 286.91 m → S 20.053351°
E  9.239502°		 →
↑
286.95 m
↓
↑
286.95 m
↓
S 20.055932°
E  9.236755°		 ← 286.90 m →
82 328 m²		 S 20.055932°
E  9.239502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525661468505859 y=0.556880950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525661468505859 × 217)
    floor (0.525661468505859 × 131072)
    floor (68899.5)     		tx = 68899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556880950927734 × 217)
    floor (0.556880950927734 × 131072)
    floor (72991.5)     		ty = 72991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68899 / 72991 ti = "17/68899/72991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68899/72991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68899 ÷ 217
    68899 ÷ 131072     		x = 0.525657653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72991 ÷ 217
    72991 ÷ 131072     		y = 0.556877136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525657653808594 × 2 - 1) × π
    0.0513153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16121179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556877136230469 × 2 - 1) × π
    -0.113754272460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.357369586667519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16121179} λ = 0.16121179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357369586667519))-π/2
    2×atan(0.699513918935734)-π/2
    2×0.610399660983874-π/2
    1.22079932196775-1.57079632675     		φ = -0.34999700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16121179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.236755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34999700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.053351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68899 KachelY 72991 0.16121179 -0.34999700 9.236755 -20.053351
    Oben rechts KachelX + 1 68900 KachelY 72991 0.16125973 -0.34999700 9.239502 -20.053351
    Unten links KachelX 68899 KachelY + 1 72992 0.16121179 -0.35004204 9.236755 -20.055932
    Unten rechts KachelX + 1 68900 KachelY + 1 72992 0.16125973 -0.35004204 9.239502 -20.055932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34999700--0.35004204) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dl = 286.949839999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34999700--0.35004204) × R
    4.50399999999962e-05 × 6371000     		dr = 286.949839999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16121179-0.16125973) × cos(-0.34999700) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939373741536574 × 6371000     		do = 286.908920145355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16121179-0.16125973) × cos(-0.35004204) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939358296593452 × 6371000     		du = 286.904202862173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34999700)-sin(-0.35004204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939373741536574-0.939358296593452)×R²
    abs(0.16125973-0.16121179)×1.54449431220005e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.54449431220005e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.54449431220005e-05×40589641000000     		ar = 82327.7919323706m²