Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68898 / 69909
↖ ↑ ↗
← S 11.923790°
E  9.234009°		 ← 298.77 m → S 11.923790°
E  9.236755°		 →
↑
298.86 m
↓
↑
298.86 m
↓
S 11.926478°
E  9.234009°		 ← 298.77 m →
89 292 m²		 S 11.926478°
E  9.236755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525653839111328 y=0.533367156982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525653839111328 × 217)
    floor (0.525653839111328 × 131072)
    floor (68898.5)     		tx = 68898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533367156982422 × 217)
    floor (0.533367156982422 × 131072)
    floor (69909.5)     		ty = 69909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68898 / 69909 ti = "17/68898/69909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68898/69909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68898 ÷ 217
    68898 ÷ 131072     		x = 0.525650024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69909 ÷ 217
    69909 ÷ 131072     		y = 0.533363342285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525650024414062 × 2 - 1) × π
    0.051300048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16116386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533363342285156 × 2 - 1) × π
    -0.0667266845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.209628062038506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16116386} λ = 0.16116386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.209628062038506))-π/2
    2×atan(0.810885789096444)-π/2
    2×0.681343461739201-π/2
    1.3626869234784-1.57079632675     		φ = -0.20810940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16116386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.234009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20810940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.923790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68898 KachelY 69909 0.16116386 -0.20810940 9.234009 -11.923790
    Oben rechts KachelX + 1 68899 KachelY 69909 0.16121179 -0.20810940 9.236755 -11.923790
    Unten links KachelX 68898 KachelY + 1 69910 0.16116386 -0.20815631 9.234009 -11.926478
    Unten rechts KachelX + 1 68899 KachelY + 1 69910 0.16121179 -0.20815631 9.236755 -11.926478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20810940--0.20815631) × R
    4.69100000000111e-05 × 6371000     		dl = 298.863610000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20810940--0.20815631) × R
    4.69100000000111e-05 × 6371000     		dr = 298.863610000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16116386-0.16121179) × cos(-0.20810940) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978423280855155 × 6371000     		do = 298.7733192412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16116386-0.16121179) × cos(-0.20815631) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978413587681798 × 6371000     		du = 298.770359314107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20810940)-sin(-0.20815631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978423280855155-0.978413587681798)×R²
    abs(0.16121179-0.16116386)×9.69317335630659e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.69317335630659e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.69317335630659e-06×40589641000000     		ar = 89292.0304692825m²