Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68897 / 69847
↖ ↑ ↗
← S 11.757125°
E  9.231262°		 ← 299.02 m → S 11.757125°
E  9.234009°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
S 11.759815°
E  9.231262°		 ← 299.02 m →
89 422 m²		 S 11.759815°
E  9.234009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525646209716797 y=0.532894134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525646209716797 × 217)
    floor (0.525646209716797 × 131072)
    floor (68897.5)     		tx = 68897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532894134521484 × 217)
    floor (0.532894134521484 × 131072)
    floor (69847.5)     		ty = 69847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68897 / 69847 ti = "17/68897/69847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68897/69847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68897 ÷ 217
    68897 ÷ 131072     		x = 0.525642395019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69847 ÷ 217
    69847 ÷ 131072     		y = 0.532890319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525642395019531 × 2 - 1) × π
    0.0512847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16111592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532890319824219 × 2 - 1) × π
    -0.0657806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.206655974262062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16111592} λ = 0.16111592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.206655974262062))-π/2
    2×atan(0.813299397790079)-π/2
    2×0.682797886134103-π/2
    1.36559577226821-1.57079632675     		φ = -0.20520055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16111592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.231262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20520055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.757125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68897 KachelY 69847 0.16111592 -0.20520055 9.231262 -11.757125
    Oben rechts KachelX + 1 68898 KachelY 69847 0.16116386 -0.20520055 9.234009 -11.757125
    Unten links KachelX 68897 KachelY + 1 69848 0.16111592 -0.20524749 9.231262 -11.759815
    Unten rechts KachelX + 1 68898 KachelY + 1 69848 0.16116386 -0.20524749 9.234009 -11.759815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20520055--0.20524749) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20520055--0.20524749) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16111592-0.16116386) × cos(-0.20520055) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979020139436795 × 6371000     		do = 299.017950562363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16111592-0.16116386) × cos(-0.20524749) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979010573699236 × 6371000     		du = 299.015028939891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20520055)-sin(-0.20524749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979020139436795-0.979010573699236)×R²
    abs(0.16116386-0.16111592)×9.5657375598357e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.5657375598357e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.5657375598357e-06×40589641000000     		ar = 89422.2986146246m²