Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68894 / 69835
↖ ↑ ↗
← S 11.724856°
E  9.223023°		 ← 299.05 m → S 11.724856°
E  9.225769°		 →
↑
298.99 m
↓
↑
298.99 m
↓
S 11.727545°
E  9.223023°		 ← 299.05 m →
89 414 m²		 S 11.727545°
E  9.225769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525623321533203 y=0.532802581787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525623321533203 × 217)
    floor (0.525623321533203 × 131072)
    floor (68894.5)     		tx = 68894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532802581787109 × 217)
    floor (0.532802581787109 × 131072)
    floor (69835.5)     		ty = 69835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68894 / 69835 ti = "17/68894/69835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68894/69835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68894 ÷ 217
    68894 ÷ 131072     		x = 0.525619506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69835 ÷ 217
    69835 ÷ 131072     		y = 0.532798767089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525619506835938 × 2 - 1) × π
    0.051239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16097211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532798767089844 × 2 - 1) × π
    -0.0655975341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.206080731466621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16097211} λ = 0.16097211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.206080731466621))-π/2
    2×atan(0.813767376997123)-π/2
    2×0.683079489763403-π/2
    1.36615897952681-1.57079632675     		φ = -0.20463735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16097211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.223023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20463735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.724856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68894 KachelY 69835 0.16097211 -0.20463735 9.223023 -11.724856
    Oben rechts KachelX + 1 68895 KachelY 69835 0.16102005 -0.20463735 9.225769 -11.724856
    Unten links KachelX 68894 KachelY + 1 69836 0.16097211 -0.20468428 9.223023 -11.727545
    Unten rechts KachelX + 1 68895 KachelY + 1 69836 0.16102005 -0.20468428 9.225769 -11.727545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20463735--0.20468428) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dl = 298.991030000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20463735--0.20468428) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dr = 298.991030000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16097211-0.16102005) × cos(-0.20463735) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979134743767813 × 6371000     		do = 299.052953674972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16097211-0.16102005) × cos(-0.20468428) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979125205946195 × 6371000     		du = 299.050040578746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20463735)-sin(-0.20468428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979134743767813-0.979125205946195)×R²
    abs(0.16102005-0.16097211)×9.53782161838834e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.53782161838834e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.53782161838834e-06×40589641000000     		ar = 89413.7151654178m²