Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68894 / 69394
↖ ↑ ↗
← S 10.536421°
E  9.223023°		 ← 300.28 m → S 10.536421°
E  9.225769°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
S 10.539121°
E  9.223023°		 ← 300.27 m →
90 162 m²		 S 10.539121°
E  9.225769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525623321533203 y=0.529438018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525623321533203 × 217)
    floor (0.525623321533203 × 131072)
    floor (68894.5)     		tx = 68894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529438018798828 × 217)
    floor (0.529438018798828 × 131072)
    floor (69394.5)     		ty = 69394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68894 / 69394 ti = "17/68894/69394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68894/69394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68894 ÷ 217
    68894 ÷ 131072     		x = 0.525619506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69394 ÷ 217
    69394 ÷ 131072     		y = 0.529434204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525619506835938 × 2 - 1) × π
    0.051239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16097211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529434204101562 × 2 - 1) × π
    -0.058868408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.184940558734177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16097211} λ = 0.16097211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184940558734177))-π/2
    2×atan(0.831153687211074)-π/2
    2×0.693450547987151-π/2
    1.3869010959743-1.57079632675     		φ = -0.18389523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16097211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.223023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18389523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.536421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68894 KachelY 69394 0.16097211 -0.18389523 9.223023 -10.536421
    Oben rechts KachelX + 1 68895 KachelY 69394 0.16102005 -0.18389523 9.225769 -10.536421
    Unten links KachelX 68894 KachelY + 1 69395 0.16097211 -0.18394236 9.223023 -10.539121
    Unten rechts KachelX + 1 68895 KachelY + 1 69395 0.16102005 -0.18394236 9.225769 -10.539121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18389523--0.18394236) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dl = 300.26523000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18389523--0.18394236) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dr = 300.26523000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16097211-0.16102005) × cos(-0.18389523) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983138869355719 × 6371000     		do = 300.275916695711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16097211-0.16102005) × cos(-0.18394236) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983130250048323 × 6371000     		du = 300.273284137371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18389523)-sin(-0.18394236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983138869355719-0.983130250048323)×R²
    abs(0.16102005-0.16097211)×8.61930739592953e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.61930739592953e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.61930739592953e-06×40589641000000     		ar = 90162.0219739015m²