Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68893 / 69837
↖ ↑ ↗
← S 11.730235°
E  9.220276°		 ← 299.05 m → S 11.730235°
E  9.223023°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
S 11.732924°
E  9.220276°		 ← 299.04 m →
89 431 m²		 S 11.732924°
E  9.223023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525615692138672 y=0.532817840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525615692138672 × 217)
    floor (0.525615692138672 × 131072)
    floor (68893.5)     		tx = 68893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532817840576172 × 217)
    floor (0.532817840576172 × 131072)
    floor (69837.5)     		ty = 69837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68893 / 69837 ti = "17/68893/69837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68893/69837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68893 ÷ 217
    68893 ÷ 131072     		x = 0.525611877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69837 ÷ 217
    69837 ÷ 131072     		y = 0.532814025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525611877441406 × 2 - 1) × π
    0.0512237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16092417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532814025878906 × 2 - 1) × π
    -0.0656280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.206176605265862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16092417} λ = 0.16092417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.206176605265862))-π/2
    2×atan(0.813689361766861)-π/2
    2×0.683032553536743-π/2
    1.36606510707349-1.57079632675     		φ = -0.20473122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16092417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.220276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20473122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.730235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68893 KachelY 69837 0.16092417 -0.20473122 9.220276 -11.730235
    Oben rechts KachelX + 1 68894 KachelY 69837 0.16097211 -0.20473122 9.223023 -11.730235
    Unten links KachelX 68893 KachelY + 1 69838 0.16092417 -0.20477816 9.220276 -11.732924
    Unten rechts KachelX + 1 68894 KachelY + 1 69838 0.16097211 -0.20477816 9.223023 -11.732924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20473122--0.20477816) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20473122--0.20477816) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16092417-0.16097211) × cos(-0.20473122) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979115663935087 × 6371000     		do = 299.047126202942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16092417-0.16097211) × cos(-0.20477816) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979106119766631 × 6371000     		du = 299.044211168229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20473122)-sin(-0.20477816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979115663935087-0.979106119766631)×R²
    abs(0.16097211-0.16092417)×9.54416845588835e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.54416845588835e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.54416845588835e-06×40589641000000     		ar = 89431.0247133114m²