Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68893 / 44553
↖ ↑ ↗
← N 49.822037°
E  9.220276°		 ← 197.05 m → N 49.822037°
E  9.223023°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
N 49.820265°
E  9.220276°		 ← 197.06 m →
38 830 m²		 N 49.820265°
E  9.223023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525615692138672 y=0.339916229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525615692138672 × 217)
    floor (0.525615692138672 × 131072)
    floor (68893.5)     		tx = 68893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339916229248047 × 217)
    floor (0.339916229248047 × 131072)
    floor (44553.5)     		ty = 44553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68893 / 44553 ti = "17/68893/44553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68893/44553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68893 ÷ 217
    68893 ÷ 131072     		x = 0.525611877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44553 ÷ 217
    44553 ÷ 131072     		y = 0.339912414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525611877441406 × 2 - 1) × π
    0.0512237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16092417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339912414550781 × 2 - 1) × π
    0.320175170898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.00585996472764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16092417} λ = 0.16092417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00585996472764))-π/2
    2×atan(2.73425762718581)-π/2
    2×1.22017745730387-π/2
    2.44035491460774-1.57079632675     		φ = 0.86955859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16092417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.220276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86955859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.822037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68893 KachelY 44553 0.16092417 0.86955859 9.220276 49.822037
    Oben rechts KachelX + 1 68894 KachelY 44553 0.16097211 0.86955859 9.223023 49.822037
    Unten links KachelX 68893 KachelY + 1 44554 0.16092417 0.86952766 9.220276 49.820265
    Unten rechts KachelX + 1 68894 KachelY + 1 44554 0.16097211 0.86952766 9.223023 49.820265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86955859-0.86952766) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86955859-0.86952766) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16092417-0.16097211) × cos(0.86955859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.645163866845237 × 6371000     		do = 197.049651452453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16092417-0.16097211) × cos(0.86952766) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.645187498424655 × 6371000     		du = 197.056869145084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86955859)-sin(0.86952766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645163866845237-0.645187498424655)×R²
    abs(0.16097211-0.16092417)×2.36315794175379e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36315794175379e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36315794175379e-05×40589641000000     		ar = 38830.3361227842m²