Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68892 / 72466
↖ ↑ ↗
← S 18.693082°
E  9.217530°		 ← 289.25 m → S 18.693082°
E  9.220276°		 →
↑
289.31 m
↓
↑
289.31 m
↓
S 18.695684°
E  9.217530°		 ← 289.25 m →
83 683 m²		 S 18.695684°
E  9.220276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525608062744141 y=0.552875518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525608062744141 × 217)
    floor (0.525608062744141 × 131072)
    floor (68892.5)     		tx = 68892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552875518798828 × 217)
    floor (0.552875518798828 × 131072)
    floor (72466.5)     		ty = 72466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68892 / 72466 ti = "17/68892/72466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68892/72466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68892 ÷ 217
    68892 ÷ 131072     		x = 0.525604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72466 ÷ 217
    72466 ÷ 131072     		y = 0.552871704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525604248046875 × 2 - 1) × π
    0.05120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16087624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552871704101562 × 2 - 1) × π
    -0.105743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.332202714366989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16087624} λ = 0.16087624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.332202714366989))-π/2
    2×atan(0.717341892606866)-π/2
    2×0.622270247882742-π/2
    1.24454049576548-1.57079632675     		φ = -0.32625583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16087624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.217530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32625583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.693082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68892 KachelY 72466 0.16087624 -0.32625583 9.217530 -18.693082
    Oben rechts KachelX + 1 68893 KachelY 72466 0.16092417 -0.32625583 9.220276 -18.693082
    Unten links KachelX 68892 KachelY + 1 72467 0.16087624 -0.32630124 9.217530 -18.695684
    Unten rechts KachelX + 1 68893 KachelY + 1 72467 0.16092417 -0.32630124 9.220276 -18.695684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32625583--0.32630124) × R
    4.5409999999968e-05 × 6371000     		dl = 289.307109999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32625583--0.32630124) × R
    4.5409999999968e-05 × 6371000     		dr = 289.307109999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16087624-0.16092417) × cos(-0.32625583) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.947248981693534 × 6371000     		do = 289.25387196538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16087624-0.16092417) × cos(-0.32630124) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.94723442687447 × 6371000     		du = 289.249427476284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32625583)-sin(-0.32630124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947248981693534-0.94723442687447)×R²
    abs(0.16092417-0.16087624)×1.45548190643163e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.45548190643163e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.45548190643163e-05×40589641000000     		ar = 83682.5588577704m²