Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68890 / 64728
↖ ↑ ↗
← N  2.218683°
E  9.212036°		 ← 305.20 m → N  2.218683°
E  9.214783°		 →
↑
305.17 m
↓
↑
305.17 m
↓
N  2.215939°
E  9.212036°		 ← 305.20 m →
93 137 m²		 N  2.215939°
E  9.214783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525592803955078 y=0.493839263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525592803955078 × 217)
    floor (0.525592803955078 × 131072)
    floor (68890.5)     		tx = 68890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493839263916016 × 217)
    floor (0.493839263916016 × 131072)
    floor (64728.5)     		ty = 64728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68890 / 64728 ti = "17/68890/64728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68890/64728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68890 ÷ 217
    68890 ÷ 131072     		x = 0.525588989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64728 ÷ 217
    64728 ÷ 131072     		y = 0.49383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525588989257812 × 2 - 1) × π
    0.051177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16078036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49383544921875 × 2 - 1) × π
    0.0123291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0387330148930054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16078036} λ = 0.16078036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0387330148930054))-π/2
    2×atan(1.039492917471)-π/2
    2×0.804759830237049-π/2
    1.6095196604741-1.57079632675     		φ = 0.03872333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16078036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.212036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03872333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.218683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68890 KachelY 64728 0.16078036 0.03872333 9.212036 2.218683
    Oben rechts KachelX + 1 68891 KachelY 64728 0.16082830 0.03872333 9.214783 2.218683
    Unten links KachelX 68890 KachelY + 1 64729 0.16078036 0.03867543 9.212036 2.215939
    Unten rechts KachelX + 1 68891 KachelY + 1 64729 0.16082830 0.03867543 9.214783 2.215939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03872333-0.03867543) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dl = 305.170900000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03872333-0.03867543) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dr = 305.170900000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16078036-0.16082830) × cos(0.03872333) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999250345539219 × 6371000     		do = 305.196776231548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16078036-0.16082830) × cos(0.03867543) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999252198776859 × 6371000     		du = 305.197342258026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03872333)-sin(0.03867543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999250345539219-0.999252198776859)×R²
    abs(0.16082830-0.16078036)×1.85323763990386e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.85323763990386e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85323763990386e-06×40589641000000     		ar = 93137.2612649037m²