Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68890 / 44480
↖ ↑ ↗
← N 49.951220°
E  9.212036°		 ← 196.52 m → N 49.951220°
E  9.214783°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
N 49.949453°
E  9.212036°		 ← 196.53 m →
38 614 m²		 N 49.949453°
E  9.214783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525592803955078 y=0.339359283447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525592803955078 × 217)
    floor (0.525592803955078 × 131072)
    floor (68890.5)     		tx = 68890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339359283447266 × 217)
    floor (0.339359283447266 × 131072)
    floor (44480.5)     		ty = 44480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68890 / 44480 ti = "17/68890/44480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68890/44480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68890 ÷ 217
    68890 ÷ 131072     		x = 0.525588989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44480 ÷ 217
    44480 ÷ 131072     		y = 0.33935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525588989257812 × 2 - 1) × π
    0.051177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16078036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33935546875 × 2 - 1) × π
    0.3212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0093593583999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16078036} λ = 0.16078036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0093593583999))-π/2
    2×atan(2.74384263209619)-π/2
    2×1.22130478978511-π/2
    2.44260957957023-1.57079632675     		φ = 0.87181325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16078036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.212036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87181325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.951220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68890 KachelY 44480 0.16078036 0.87181325 9.212036 49.951220
    Oben rechts KachelX + 1 68891 KachelY 44480 0.16082830 0.87181325 9.214783 49.951220
    Unten links KachelX 68890 KachelY + 1 44481 0.16078036 0.87178241 9.212036 49.949453
    Unten rechts KachelX + 1 68891 KachelY + 1 44481 0.16082830 0.87178241 9.214783 49.949453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87181325-0.87178241) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87181325-0.87178241) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16078036-0.16082830) × cos(0.87181325) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.643439568499962 × 6371000     		do = 196.523006354366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16078036-0.16082830) × cos(0.87178241) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.643463176118723 × 6371000     		du = 196.530216728796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87181325)-sin(0.87178241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643439568499962-0.643463176118723)×R²
    abs(0.16082830-0.16078036)×2.36076187608569e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36076187608569e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36076187608569e-05×40589641000000     		ar = 38613.8709422385m²