Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68888 / 64712
↖ ↑ ↗
← N  2.262595°
E  9.206543°		 ← 305.12 m → N  2.262595°
E  9.209289°		 →
↑
305.17 m
↓
↑
305.17 m
↓
N  2.259851°
E  9.206543°		 ← 305.12 m →
93 115 m²		 N  2.259851°
E  9.209289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525577545166016 y=0.493717193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525577545166016 × 217)
    floor (0.525577545166016 × 131072)
    floor (68888.5)     		tx = 68888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493717193603516 × 217)
    floor (0.493717193603516 × 131072)
    floor (64712.5)     		ty = 64712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68888 / 64712 ti = "17/68888/64712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68888/64712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68888 ÷ 217
    68888 ÷ 131072     		x = 0.52557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64712 ÷ 217
    64712 ÷ 131072     		y = 0.49371337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52557373046875 × 2 - 1) × π
    0.0511474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16068449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49371337890625 × 2 - 1) × π
    0.0125732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0395000052869263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16068449} λ = 0.16068449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0395000052869263))-π/2
    2×atan(1.0402905043849)-π/2
    2×0.805143032218318-π/2
    1.61028606443664-1.57079632675     		φ = 0.03948974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16068449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.206543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03948974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.262595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68888 KachelY 64712 0.16068449 0.03948974 9.206543 2.262595
    Oben rechts KachelX + 1 68889 KachelY 64712 0.16073242 0.03948974 9.209289 2.262595
    Unten links KachelX 68888 KachelY + 1 64713 0.16068449 0.03944184 9.206543 2.259851
    Unten rechts KachelX + 1 68889 KachelY + 1 64713 0.16073242 0.03944184 9.209289 2.259851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03948974-0.03944184) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dl = 305.170900000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03948974-0.03944184) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dr = 305.170900000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16068449-0.16073242) × cos(0.03948974) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.999220381539256 × 6371000     		do = 305.123964124035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16068449-0.16073242) × cos(0.03944184) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.9992222714599 × 6371000     		du = 305.12454123404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03948974)-sin(0.03944184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999220381539256-0.9992222714599)×R²
    abs(0.16073242-0.16068449)×1.88992064442672e-06×R²
    4.79299999999738e-05×1.88992064442672e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.88992064442672e-06×40589641000000     		ar = 93115.0428196939m²