Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68887 / 72949
↖ ↑ ↗
← S 19.944951°
E  9.203796°		 ← 287.11 m → S 19.944951°
E  9.206543°		 →
↑
287.08 m
↓
↑
287.08 m
↓
S 19.947533°
E  9.203796°		 ← 287.10 m →
82 421 m²		 S 19.947533°
E  9.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525569915771484 y=0.556560516357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525569915771484 × 217)
    floor (0.525569915771484 × 131072)
    floor (68887.5)     		tx = 68887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556560516357422 × 217)
    floor (0.556560516357422 × 131072)
    floor (72949.5)     		ty = 72949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68887 / 72949 ti = "17/68887/72949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68887/72949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68887 ÷ 217
    68887 ÷ 131072     		x = 0.525566101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72949 ÷ 217
    72949 ÷ 131072     		y = 0.556556701660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525566101074219 × 2 - 1) × π
    0.0511322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16063655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556556701660156 × 2 - 1) × π
    -0.113113403320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.355356236883476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16063655} λ = 0.16063655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.355356236883476))-π/2
    2×atan(0.700923703852213)-π/2
    2×0.61134563087388-π/2
    1.22269126174776-1.57079632675     		φ = -0.34810507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16063655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.203796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34810507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.944951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68887 KachelY 72949 0.16063655 -0.34810507 9.203796 -19.944951
    Oben rechts KachelX + 1 68888 KachelY 72949 0.16068449 -0.34810507 9.206543 -19.944951
    Unten links KachelX 68887 KachelY + 1 72950 0.16063655 -0.34815013 9.203796 -19.947533
    Unten rechts KachelX + 1 68888 KachelY + 1 72950 0.16068449 -0.34815013 9.206543 -19.947533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34810507--0.34815013) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dl = 287.077259999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34810507--0.34815013) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dr = 287.077259999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16063655-0.16068449) × cos(-0.34810507) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.940020793270463 × 6371000     		do = 287.106546400162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16063655-0.16068449) × cos(-0.34815013) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.940005421577498 × 6371000     		du = 287.101851489463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34810507)-sin(-0.34815013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940020793270463-0.940005421577498)×R²
    abs(0.16068449-0.16063655)×1.53716929652825e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.53716929652825e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.53716929652825e-05×40589641000000     		ar = 82421.0867815579m²