Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68887 / 72839
↖ ↑ ↗
← S 19.660694°
E  9.203796°		 ← 287.62 m → S 19.660694°
E  9.206543°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
S 19.663280°
E  9.203796°		 ← 287.62 m →
82 715 m²		 S 19.663280°
E  9.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525569915771484 y=0.555721282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525569915771484 × 217)
    floor (0.525569915771484 × 131072)
    floor (68887.5)     		tx = 68887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555721282958984 × 217)
    floor (0.555721282958984 × 131072)
    floor (72839.5)     		ty = 72839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68887 / 72839 ti = "17/68887/72839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68887/72839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68887 ÷ 217
    68887 ÷ 131072     		x = 0.525566101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72839 ÷ 217
    72839 ÷ 131072     		y = 0.555717468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525566101074219 × 2 - 1) × π
    0.0511322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16063655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555717468261719 × 2 - 1) × π
    -0.111434936523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.35008317792527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16063655} λ = 0.16063655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35008317792527))-π/2
    2×atan(0.704629477663096)-π/2
    2×0.613826243556623-π/2
    1.22765248711325-1.57079632675     		φ = -0.34314384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16063655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.203796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34314384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.660694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68887 KachelY 72839 0.16063655 -0.34314384 9.203796 -19.660694
    Oben rechts KachelX + 1 68888 KachelY 72839 0.16068449 -0.34314384 9.206543 -19.660694
    Unten links KachelX 68887 KachelY + 1 72840 0.16063655 -0.34318898 9.203796 -19.663280
    Unten rechts KachelX + 1 68888 KachelY + 1 72840 0.16068449 -0.34318898 9.206543 -19.663280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34314384--0.34318898) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34314384--0.34318898) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16063655-0.16068449) × cos(-0.34314384) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.941701578233234 × 6371000     		do = 287.619901391198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16063655-0.16068449) × cos(-0.34318898) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.941686389952014 × 6371000     		du = 287.615262499167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34314384)-sin(-0.34318898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941701578233234-0.941686389952014)×R²
    abs(0.16068449-0.16063655)×1.51882812197135e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.51882812197135e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.51882812197135e-05×40589641000000     		ar = 82715.0602958928m²