Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68886 / 72840
↖ ↑ ↗
← S 19.663280°
E  9.201050°		 ← 287.62 m → S 19.663280°
E  9.203796°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
S 19.665866°
E  9.201050°		 ← 287.61 m →
82 714 m²		 S 19.665866°
E  9.203796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525562286376953 y=0.555728912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525562286376953 × 217)
    floor (0.525562286376953 × 131072)
    floor (68886.5)     		tx = 68886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555728912353516 × 217)
    floor (0.555728912353516 × 131072)
    floor (72840.5)     		ty = 72840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68886 / 72840 ti = "17/68886/72840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68886/72840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68886 ÷ 217
    68886 ÷ 131072     		x = 0.525558471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72840 ÷ 217
    72840 ÷ 131072     		y = 0.55572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525558471679688 × 2 - 1) × π
    0.051116943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16058861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55572509765625 × 2 - 1) × π
    -0.1114501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.35013111482489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16058861} λ = 0.16058861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35013111482489))-π/2
    2×atan(0.704595700720144)-π/2
    2×0.613803672611631-π/2
    1.22760734522326-1.57079632675     		φ = -0.34318898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16058861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.201050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34318898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.663280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68886 KachelY 72840 0.16058861 -0.34318898 9.201050 -19.663280
    Oben rechts KachelX + 1 68887 KachelY 72840 0.16063655 -0.34318898 9.203796 -19.663280
    Unten links KachelX 68886 KachelY + 1 72841 0.16058861 -0.34323412 9.201050 -19.665866
    Unten rechts KachelX + 1 68887 KachelY + 1 72841 0.16063655 -0.34323412 9.203796 -19.665866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34318898--0.34323412) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34318898--0.34323412) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16058861-0.16063655) × cos(-0.34318898) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941686389952014 × 6371000     		do = 287.615262499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16058861-0.16063655) × cos(-0.34323412) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941671199751996 × 6371000     		du = 287.610623020919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34318898)-sin(-0.34323412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941686389952014-0.941671199751996)×R²
    abs(0.16063655-0.16058861)×1.5190200018278e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.5190200018278e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.5190200018278e-05×40589641000000     		ar = 82713.7261267041m²