Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68884 / 64876
↖ ↑ ↗
← N  1.812442°
E  9.195557°		 ← 305.27 m → N  1.812442°
E  9.198303°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.809696°
E  9.195557°		 ← 305.27 m →
93 199 m²		 N  1.809696°
E  9.198303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525547027587891 y=0.494968414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525547027587891 × 217)
    floor (0.525547027587891 × 131072)
    floor (68884.5)     		tx = 68884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494968414306641 × 217)
    floor (0.494968414306641 × 131072)
    floor (64876.5)     		ty = 64876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68884 / 64876 ti = "17/68884/64876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68884/64876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68884 ÷ 217
    68884 ÷ 131072     		x = 0.525543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64876 ÷ 217
    64876 ÷ 131072     		y = 0.494964599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525543212890625 × 2 - 1) × π
    0.05108642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16049274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494964599609375 × 2 - 1) × π
    0.01007080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0316383537492371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16049274} λ = 0.16049274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0316383537492371))-π/2
    2×atan(1.03214416673279)-π/2
    2×0.801214701804718-π/2
    1.60242940360944-1.57079632675     		φ = 0.03163308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16049274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.195557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03163308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.812442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68884 KachelY 64876 0.16049274 0.03163308 9.195557 1.812442
    Oben rechts KachelX + 1 68885 KachelY 64876 0.16054068 0.03163308 9.198303 1.812442
    Unten links KachelX 68884 KachelY + 1 64877 0.16049274 0.03158516 9.195557 1.809696
    Unten rechts KachelX + 1 68885 KachelY + 1 64877 0.16054068 0.03158516 9.198303 1.809696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03163308-0.03158516) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03163308-0.03158516) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16049274-0.16054068) × cos(0.03163308) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999499715844462 × 6371000     		do = 305.272940341561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16049274-0.16054068) × cos(0.03158516) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999501230301271 × 6371000     		du = 305.273402895653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03163308)-sin(0.03158516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999499715844462-0.999501230301271)×R²
    abs(0.16054068-0.16049274)×1.51445680940387e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.51445680940387e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.51445680940387e-06×40589641000000     		ar = 93199.3864540708m²