Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68883 / 96739
↖ ↑ ↗
← S 64.740158°
E  9.192810°		 ← 130.33 m → S 64.740158°
E  9.195557°		 →
↑
130.35 m
↓
↑
130.35 m
↓
S 64.741330°
E  9.192810°		 ← 130.33 m →
16 989 m²		 S 64.741330°
E  9.195557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525539398193359 y=0.738063812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525539398193359 × 217)
    floor (0.525539398193359 × 131072)
    floor (68883.5)     		tx = 68883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738063812255859 × 217)
    floor (0.738063812255859 × 131072)
    floor (96739.5)     		ty = 96739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68883 / 96739 ti = "17/68883/96739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68883/96739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68883 ÷ 217
    68883 ÷ 131072     		x = 0.525535583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96739 ÷ 217
    96739 ÷ 131072     		y = 0.738059997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525535583496094 × 2 - 1) × π
    0.0510711669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16044480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738059997558594 × 2 - 1) × π
    -0.476119995117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.49577507884461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16044480} λ = 0.16044480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49577507884461))-π/2
    2×atan(0.224074861722038)-π/2
    2×0.220433708147709-π/2
    0.440867416295418-1.57079632675     		φ = -1.12992891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16044480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.192810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12992891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.740158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68883 KachelY 96739 0.16044480 -1.12992891 9.192810 -64.740158
    Oben rechts KachelX + 1 68884 KachelY 96739 0.16049274 -1.12992891 9.195557 -64.740158
    Unten links KachelX 68883 KachelY + 1 96740 0.16044480 -1.12994937 9.192810 -64.741330
    Unten rechts KachelX + 1 68884 KachelY + 1 96740 0.16049274 -1.12994937 9.195557 -64.741330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12992891--1.12994937) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dl = 130.350659999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12992891--1.12994937) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dr = 130.350659999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16044480-0.16049274) × cos(-1.12992891) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426724101514522 × 6371000     		do = 130.332524480898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16044480-0.16049274) × cos(-1.12994937) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426705597772437 × 6371000     		du = 130.326872961779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12992891)-sin(-1.12994937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426724101514522-0.426705597772437)×R²
    abs(0.16049274-0.16044480)×1.85037420851741e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85037420851741e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85037420851741e-05×40589641000000     		ar = 16988.5622464173m²