Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68882 / 44657
↖ ↑ ↗
← N 49.637399°
E  9.190064°		 ← 197.76 m → N 49.637399°
E  9.192810°		 →
↑
197.82 m
↓
↑
197.82 m
↓
N 49.635620°
E  9.190064°		 ← 197.77 m →
39 121 m²		 N 49.635620°
E  9.192810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525531768798828 y=0.340709686279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525531768798828 × 217)
    floor (0.525531768798828 × 131072)
    floor (68882.5)     		tx = 68882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340709686279297 × 217)
    floor (0.340709686279297 × 131072)
    floor (44657.5)     		ty = 44657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68882 / 44657 ti = "17/68882/44657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68882/44657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68882 ÷ 217
    68882 ÷ 131072     		x = 0.525527954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44657 ÷ 217
    44657 ÷ 131072     		y = 0.340705871582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525527954101562 × 2 - 1) × π
    0.051055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16039687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340705871582031 × 2 - 1) × π
    0.318588256835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.00087452716715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16039687} λ = 0.16039687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00087452716715))-π/2
    2×atan(2.72066007953703)-π/2
    2×1.21856618118981-π/2
    2.43713236237961-1.57079632675     		φ = 0.86633604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16039687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.190064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86633604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.637399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68882 KachelY 44657 0.16039687 0.86633604 9.190064 49.637399
    Oben rechts KachelX + 1 68883 KachelY 44657 0.16044480 0.86633604 9.192810 49.637399
    Unten links KachelX 68882 KachelY + 1 44658 0.16039687 0.86630499 9.190064 49.635620
    Unten rechts KachelX + 1 68883 KachelY + 1 44658 0.16044480 0.86630499 9.192810 49.635620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86633604-0.86630499) × R
    3.10499999999214e-05 × 6371000     		dl = 197.819549999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86633604-0.86630499) × R
    3.10499999999214e-05 × 6371000     		dr = 197.819549999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16039687-0.16044480) × cos(0.86633604) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.647622683360922 × 6371000     		do = 197.759377265145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16039687-0.16044480) × cos(0.86630499) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.64764634194378 × 6371000     		du = 197.766601698033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86633604)-sin(0.86630499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647622683360922-0.64764634194378)×R²
    abs(0.16044480-0.16039687)×2.36585828587987e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36585828587987e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36585828587987e-05×40589641000000     		ar = 39121.385588949m²