Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68882 / 44590
↖ ↑ ↗
← N 49.756429°
E  9.190064°		 ← 197.28 m → N 49.756429°
E  9.192810°		 →
↑
197.31 m
↓
↑
197.31 m
↓
N 49.754655°
E  9.190064°		 ← 197.28 m →
38 925 m²		 N 49.754655°
E  9.192810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525531768798828 y=0.340198516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525531768798828 × 217)
    floor (0.525531768798828 × 131072)
    floor (68882.5)     		tx = 68882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340198516845703 × 217)
    floor (0.340198516845703 × 131072)
    floor (44590.5)     		ty = 44590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68882 / 44590 ti = "17/68882/44590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68882/44590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68882 ÷ 217
    68882 ÷ 131072     		x = 0.525527954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44590 ÷ 217
    44590 ÷ 131072     		y = 0.340194702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525527954101562 × 2 - 1) × π
    0.051055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16039687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340194702148438 × 2 - 1) × π
    0.319610595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0040862994417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16039687} λ = 0.16039687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0040862994417))-π/2
    2×atan(2.72941226764291)-π/2
    2×1.21960491719645-π/2
    2.43920983439291-1.57079632675     		φ = 0.86841351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16039687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.190064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86841351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.756429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68882 KachelY 44590 0.16039687 0.86841351 9.190064 49.756429
    Oben rechts KachelX + 1 68883 KachelY 44590 0.16044480 0.86841351 9.192810 49.756429
    Unten links KachelX 68882 KachelY + 1 44591 0.16039687 0.86838254 9.190064 49.754655
    Unten rechts KachelX + 1 68883 KachelY + 1 44591 0.16044480 0.86838254 9.192810 49.754655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86841351-0.86838254) × R
    3.09699999999635e-05 × 6371000     		dl = 197.309869999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86841351-0.86838254) × R
    3.09699999999635e-05 × 6371000     		dr = 197.309869999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16039687-0.16044480) × cos(0.86841351) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.646038335448541 × 6371000     		do = 197.275577570394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16039687-0.16044480) × cos(0.86838254) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.646061974693472 × 6371000     		du = 197.282796098214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86841351)-sin(0.86838254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646038335448541-0.646061974693472)×R²
    abs(0.16044480-0.16039687)×2.36392449319833e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36392449319833e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36392449319833e-05×40589641000000     		ar = 38925.1307111252m²