Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68882 / 43392
↖ ↑ ↗
← N 51.835778°
E  9.190064°		 ← 188.69 m → N 51.835778°
E  9.192810°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
N 51.834081°
E  9.190064°		 ← 188.70 m →
35 608 m²		 N 51.834081°
E  9.192810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525531768798828 y=0.331058502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525531768798828 × 217)
    floor (0.525531768798828 × 131072)
    floor (68882.5)     		tx = 68882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331058502197266 × 217)
    floor (0.331058502197266 × 131072)
    floor (43392.5)     		ty = 43392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68882 / 43392 ti = "17/68882/43392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68882/43392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68882 ÷ 217
    68882 ÷ 131072     		x = 0.525527954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43392 ÷ 217
    43392 ÷ 131072     		y = 0.3310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525527954101562 × 2 - 1) × π
    0.051055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16039687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3310546875 × 2 - 1) × π
    0.337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06151470518652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16039687} λ = 0.16039687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06151470518652))-π/2
    2×atan(2.89074630319445)-π/2
    2×1.23775065741965-π/2
    2.47550131483931-1.57079632675     		φ = 0.90470499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16039687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.190064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90470499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.835778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68882 KachelY 43392 0.16039687 0.90470499 9.190064 51.835778
    Oben rechts KachelX + 1 68883 KachelY 43392 0.16044480 0.90470499 9.192810 51.835778
    Unten links KachelX 68882 KachelY + 1 43393 0.16039687 0.90467537 9.190064 51.834081
    Unten rechts KachelX + 1 68883 KachelY + 1 43393 0.16044480 0.90467537 9.192810 51.834081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90470499-0.90467537) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dl = 188.709020000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90470499-0.90467537) × R
    2.96200000000635e-05 × 6371000     		dr = 188.709020000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16039687-0.16044480) × cos(0.90470499) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.617917556336133 × 6371000     		do = 188.688559375447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16039687-0.16044480) × cos(0.90467537) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.617940844579685 × 6371000     		du = 188.695670720773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90470499)-sin(0.90467537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617917556336133-0.617940844579685)×R²
    abs(0.16044480-0.16039687)×2.32882435518e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.32882435518e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.32882435518e-05×40589641000000     		ar = 35607.9041151445m²