Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68880 / 44496
↖ ↑ ↗
← N 49.922936°
E  9.184570°		 ← 196.64 m → N 49.922936°
E  9.187317°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.921167°
E  9.184570°		 ← 196.65 m →
38 674 m²		 N 49.921167°
E  9.187317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525516510009766 y=0.339481353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525516510009766 × 217)
    floor (0.525516510009766 × 131072)
    floor (68880.5)     		tx = 68880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339481353759766 × 217)
    floor (0.339481353759766 × 131072)
    floor (44496.5)     		ty = 44496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68880 / 44496 ti = "17/68880/44496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68880/44496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68880 ÷ 217
    68880 ÷ 131072     		x = 0.5255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44496 ÷ 217
    44496 ÷ 131072     		y = 0.3394775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3394775390625 × 2 - 1) × π
    0.321044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00859236800598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16030099} λ = 0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00859236800598))-π/2
    2×atan(2.74173893801465)-π/2
    2×1.22105796135895-π/2
    2.4421159227179-1.57079632675     		φ = 0.87131960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87131960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.922936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68880 KachelY 44496 0.16030099 0.87131960 9.184570 49.922936
    Oben rechts KachelX + 1 68881 KachelY 44496 0.16034893 0.87131960 9.187317 49.922936
    Unten links KachelX 68880 KachelY + 1 44497 0.16030099 0.87128873 9.184570 49.921167
    Unten rechts KachelX + 1 68881 KachelY + 1 44497 0.16034893 0.87128873 9.187317 49.921167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87131960-0.87128873) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87131960-0.87128873) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16030099-0.16034893) × cos(0.87131960) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.643817377635035 × 6371000     		do = 196.638398989025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16030099-0.16034893) × cos(0.87128873) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.643840998409689 × 6371000     		du = 196.645613381603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87131960)-sin(0.87128873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643817377635035-0.643840998409689)×R²
    abs(0.16034893-0.16030099)×2.36207746538986e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36207746538986e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36207746538986e-05×40589641000000     		ar = 38674.1280578751m²