Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68877 / 64789
↖ ↑ ↗
← N  2.051258°
E  9.176330°		 ← 305.23 m → N  2.051258°
E  9.179077°		 →
↑
305.17 m
↓
↑
305.17 m
↓
N  2.048514°
E  9.176330°		 ← 305.23 m →
93 147 m²		 N  2.048514°
E  9.179077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525493621826172 y=0.494304656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525493621826172 × 217)
    floor (0.525493621826172 × 131072)
    floor (68877.5)     		tx = 68877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494304656982422 × 217)
    floor (0.494304656982422 × 131072)
    floor (64789.5)     		ty = 64789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68877 / 64789 ti = "17/68877/64789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68877/64789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68877 ÷ 217
    68877 ÷ 131072     		x = 0.525489807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64789 ÷ 217
    64789 ÷ 131072     		y = 0.494300842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525489807128906 × 2 - 1) × π
    0.0509796142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16015718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494300842285156 × 2 - 1) × π
    0.0113983154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0358088640161819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16015718} λ = 0.16015718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0358088640161819))-π/2
    2×atan(1.03645772319067)-π/2
    2×0.803298770231551-π/2
    1.6065975404631-1.57079632675     		φ = 0.03580121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16015718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.176330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03580121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.051258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68877 KachelY 64789 0.16015718 0.03580121 9.176330 2.051258
    Oben rechts KachelX + 1 68878 KachelY 64789 0.16020512 0.03580121 9.179077 2.051258
    Unten links KachelX 68877 KachelY + 1 64790 0.16015718 0.03575331 9.176330 2.048514
    Unten rechts KachelX + 1 68878 KachelY + 1 64790 0.16020512 0.03575331 9.179077 2.048514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03580121-0.03575331) × R
    4.78999999999966e-05 × 6371000     		dl = 305.170899999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03580121-0.03575331) × R
    4.78999999999966e-05 × 6371000     		dr = 305.170899999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16015718-0.16020512) × cos(0.03580121) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999359205129309 × 6371000     		do = 305.230024752408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16015718-0.16020512) × cos(0.03575331) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999360918494487 × 6371000     		du = 305.230548058235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03580121)-sin(0.03575331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999359205129309-0.999360918494487)×R²
    abs(0.16020512-0.16015718)×1.71336517773568e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.71336517773568e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71336517773568e-06×40589641000000     		ar = 93147.4012273704m²