Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68877 / 44185
↖ ↑ ↗
← N 50.469743°
E  9.176330°		 ← 194.40 m → N 50.469743°
E  9.179077°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
N 50.467994°
E  9.176330°		 ← 194.41 m →
37 788 m²		 N 50.467994°
E  9.179077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525493621826172 y=0.337108612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525493621826172 × 217)
    floor (0.525493621826172 × 131072)
    floor (68877.5)     		tx = 68877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337108612060547 × 217)
    floor (0.337108612060547 × 131072)
    floor (44185.5)     		ty = 44185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68877 / 44185 ti = "17/68877/44185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68877/44185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68877 ÷ 217
    68877 ÷ 131072     		x = 0.525489807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44185 ÷ 217
    44185 ÷ 131072     		y = 0.337104797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525489807128906 × 2 - 1) × π
    0.0509796142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16015718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337104797363281 × 2 - 1) × π
    0.325790405273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.02350074378782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16015718} λ = 0.16015718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02350074378782))-π/2
    2×atan(2.78292002119148)-π/2
    2×1.22582975497013-π/2
    2.45165950994026-1.57079632675     		φ = 0.88086318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16015718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.176330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88086318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.469743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68877 KachelY 44185 0.16015718 0.88086318 9.176330 50.469743
    Oben rechts KachelX + 1 68878 KachelY 44185 0.16020512 0.88086318 9.179077 50.469743
    Unten links KachelX 68877 KachelY + 1 44186 0.16015718 0.88083267 9.176330 50.467994
    Unten rechts KachelX + 1 68878 KachelY + 1 44186 0.16020512 0.88083267 9.179077 50.467994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88086318-0.88083267) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88086318-0.88083267) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16015718-0.16020512) × cos(0.88086318) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.636485620531527 × 6371000     		do = 194.399091650186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16015718-0.16020512) × cos(0.88083267) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.636509152249488 × 6371000     		du = 194.406278842557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88086318)-sin(0.88083267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636485620531527-0.636509152249488)×R²
    abs(0.16020512-0.16015718)×2.35317179611005e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35317179611005e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35317179611005e-05×40589641000000     		ar = 37787.840382823m²