Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68876 / 72484
↖ ↑ ↗
← S 18.739907°
E  9.173584°		 ← 289.23 m → S 18.739907°
E  9.176330°		 →
↑
289.18 m
↓
↑
289.18 m
↓
S 18.742507°
E  9.173584°		 ← 289.23 m →
83 640 m²		 S 18.742507°
E  9.176330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525485992431641 y=0.553012847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525485992431641 × 217)
    floor (0.525485992431641 × 131072)
    floor (68876.5)     		tx = 68876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553012847900391 × 217)
    floor (0.553012847900391 × 131072)
    floor (72484.5)     		ty = 72484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68876 / 72484 ti = "17/68876/72484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68876/72484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68876 ÷ 217
    68876 ÷ 131072     		x = 0.525482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72484 ÷ 217
    72484 ÷ 131072     		y = 0.553009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525482177734375 × 2 - 1) × π
    0.05096435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16010924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.10601806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.33306557856015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16010924} λ = 0.16010924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.33306557856015))-π/2
    2×atan(0.716723190939626)-π/2
    2×0.621861630817695-π/2
    1.24372326163539-1.57079632675     		φ = -0.32707307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16010924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.173584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32707307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.739907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68876 KachelY 72484 0.16010924 -0.32707307 9.173584 -18.739907
    Oben rechts KachelX + 1 68877 KachelY 72484 0.16015718 -0.32707307 9.176330 -18.739907
    Unten links KachelX 68876 KachelY + 1 72485 0.16010924 -0.32711846 9.173584 -18.742507
    Unten rechts KachelX + 1 68877 KachelY + 1 72485 0.16015718 -0.32711846 9.176330 -18.742507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32707307--0.32711846) × R
    4.53899999999785e-05 × 6371000     		dl = 289.179689999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32707307--0.32711846) × R
    4.53899999999785e-05 × 6371000     		dr = 289.179689999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16010924-0.16015718) × cos(-0.32707307) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946986741103993 × 6371000     		do = 289.234126171853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16010924-0.16015718) × cos(-0.32711846) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946972157563143 × 6371000     		du = 289.229671983097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32707307)-sin(-0.32711846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946986741103993-0.946972157563143)×R²
    abs(0.16015718-0.16010924)×1.45835408494888e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.45835408494888e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.45835408494888e-05×40589641000000     		ar = 83639.99092773m²