Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68875 / 44193
↖ ↑ ↗
← N 50.455755°
E  9.170838°		 ← 194.42 m → N 50.455755°
E  9.173584°		 →
↑
194.44 m
↓
↑
194.44 m
↓
N 50.454007°
E  9.170838°		 ← 194.42 m →
37 804 m²		 N 50.454007°
E  9.173584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525478363037109 y=0.337169647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525478363037109 × 217)
    floor (0.525478363037109 × 131072)
    floor (68875.5)     		tx = 68875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337169647216797 × 217)
    floor (0.337169647216797 × 131072)
    floor (44193.5)     		ty = 44193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68875 / 44193 ti = "17/68875/44193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68875/44193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68875 ÷ 217
    68875 ÷ 131072     		x = 0.525474548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44193 ÷ 217
    44193 ÷ 131072     		y = 0.337165832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525474548339844 × 2 - 1) × π
    0.0509490966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16006131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337165832519531 × 2 - 1) × π
    0.325668334960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.02311724859086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16006131} λ = 0.16006131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02311724859086))-π/2
    2×atan(2.7818529893437)-π/2
    2×1.22570769233131-π/2
    2.45141538466263-1.57079632675     		φ = 0.88061906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16006131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.170838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88061906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.455755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68875 KachelY 44193 0.16006131 0.88061906 9.170838 50.455755
    Oben rechts KachelX + 1 68876 KachelY 44193 0.16010924 0.88061906 9.173584 50.455755
    Unten links KachelX 68875 KachelY + 1 44194 0.16006131 0.88058854 9.170838 50.454007
    Unten rechts KachelX + 1 68876 KachelY + 1 44194 0.16010924 0.88058854 9.173584 50.454007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88061906-0.88058854) × R
    3.05200000000339e-05 × 6371000     		dl = 194.442920000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88061906-0.88058854) × R
    3.05200000000339e-05 × 6371000     		dr = 194.442920000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16006131-0.16010924) × cos(0.88061906) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.636673888529289 × 6371000     		do = 194.416031049304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16006131-0.16010924) × cos(0.88058854) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.636697423216989 × 6371000     		du = 194.423217649315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88061906)-sin(0.88058854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636673888529289-0.636697423216989)×R²
    abs(0.16010924-0.16006131)×2.35346877004439e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35346877004439e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35346877004439e-05×40589641000000     		ar = 37803.5194669388m²