Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68875 / 44175
↖ ↑ ↗
← N 50.487221°
E  9.170838°		 ← 194.29 m → N 50.487221°
E  9.173584°		 →
↑
194.32 m
↓
↑
194.32 m
↓
N 50.485474°
E  9.170838°		 ← 194.29 m →
37 754 m²		 N 50.485474°
E  9.173584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525478363037109 y=0.337032318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525478363037109 × 217)
    floor (0.525478363037109 × 131072)
    floor (68875.5)     		tx = 68875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337032318115234 × 217)
    floor (0.337032318115234 × 131072)
    floor (44175.5)     		ty = 44175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68875 / 44175 ti = "17/68875/44175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68875/44175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68875 ÷ 217
    68875 ÷ 131072     		x = 0.525474548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44175 ÷ 217
    44175 ÷ 131072     		y = 0.337028503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525474548339844 × 2 - 1) × π
    0.0509490966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16006131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337028503417969 × 2 - 1) × π
    0.325942993164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.02398011278402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16006131} λ = 0.16006131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02398011278402))-π/2
    2×atan(2.78425438656969)-π/2
    2×1.22598228250481-π/2
    2.45196456500961-1.57079632675     		φ = 0.88116824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16006131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.170838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88116824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.487221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68875 KachelY 44175 0.16006131 0.88116824 9.170838 50.487221
    Oben rechts KachelX + 1 68876 KachelY 44175 0.16010924 0.88116824 9.173584 50.487221
    Unten links KachelX 68875 KachelY + 1 44176 0.16006131 0.88113774 9.170838 50.485474
    Unten rechts KachelX + 1 68876 KachelY + 1 44176 0.16010924 0.88113774 9.173584 50.485474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88116824-0.88113774) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dl = 194.315500000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88116824-0.88113774) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dr = 194.315500000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16006131-0.16010924) × cos(0.88116824) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.636250301628489 × 6371000     		do = 194.286683693394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16006131-0.16010924) × cos(0.88113774) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.636273831554846 × 6371000     		du = 194.293868839472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88116824)-sin(0.88113774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636250301628489-0.636273831554846)×R²
    abs(0.16010924-0.16006131)×2.35299263566802e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35299263566802e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35299263566802e-05×40589641000000     		ar = 37753.612180929m²