Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68874 / 44506
↖ ↑ ↗
← N 49.905249°
E  9.168091°		 ← 196.71 m → N 49.905249°
E  9.170838°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.903480°
E  9.168091°		 ← 196.72 m →
38 688 m²		 N 49.903480°
E  9.170838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525470733642578 y=0.339557647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525470733642578 × 217)
    floor (0.525470733642578 × 131072)
    floor (68874.5)     		tx = 68874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339557647705078 × 217)
    floor (0.339557647705078 × 131072)
    floor (44506.5)     		ty = 44506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68874 / 44506 ti = "17/68874/44506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68874/44506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68874 ÷ 217
    68874 ÷ 131072     		x = 0.525466918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44506 ÷ 217
    44506 ÷ 131072     		y = 0.339553833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525466918945312 × 2 - 1) × π
    0.050933837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16001337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339553833007812 × 2 - 1) × π
    0.320892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00811299900978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16001337} λ = 0.16001337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00811299900978))-π/2
    2×atan(2.7404249483402)-π/2
    2×1.22090362001091-π/2
    2.44180724002182-1.57079632675     		φ = 0.87101091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16001337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.168091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87101091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.905249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68874 KachelY 44506 0.16001337 0.87101091 9.168091 49.905249
    Oben rechts KachelX + 1 68875 KachelY 44506 0.16006131 0.87101091 9.170838 49.905249
    Unten links KachelX 68874 KachelY + 1 44507 0.16001337 0.87098004 9.168091 49.903480
    Unten rechts KachelX + 1 68875 KachelY + 1 44507 0.16006131 0.87098004 9.170838 49.903480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87101091-0.87098004) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87101091-0.87098004) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16001337-0.16006131) × cos(0.87101091) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644053550119197 × 6371000     		do = 196.710532144881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16001337-0.16006131) × cos(0.87098004) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644077164757509 × 6371000     		du = 196.717744663263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87101091)-sin(0.87098004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644053550119197-0.644077164757509)×R²
    abs(0.16006131-0.16001337)×2.36146383126856e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36146383126856e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36146383126856e-05×40589641000000     		ar = 38688.3145012805m²