Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68873 / 72780
↖ ↑ ↗
← S 19.508020°
E  9.165344°		 ← 287.89 m → S 19.508020°
E  9.168091°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
S 19.510609°
E  9.165344°		 ← 287.89 m →
82 885 m²		 S 19.510609°
E  9.168091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525463104248047 y=0.555271148681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525463104248047 × 217)
    floor (0.525463104248047 × 131072)
    floor (68873.5)     		tx = 68873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555271148681641 × 217)
    floor (0.555271148681641 × 131072)
    floor (72780.5)     		ty = 72780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68873 / 72780 ti = "17/68873/72780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68873/72780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68873 ÷ 217
    68873 ÷ 131072     		x = 0.525459289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72780 ÷ 217
    72780 ÷ 131072     		y = 0.555267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525459289550781 × 2 - 1) × π
    0.0509185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15996543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555267333984375 × 2 - 1) × π
    -0.11053466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.347254900847687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15996543} λ = 0.15996543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.347254900847687))-π/2
    2×atan(0.706625185940617)-π/2
    2×0.61515857227777-π/2
    1.23031714455554-1.57079632675     		φ = -0.34047918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15996543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.165344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34047918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.508020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68873 KachelY 72780 0.15996543 -0.34047918 9.165344 -19.508020
    Oben rechts KachelX + 1 68874 KachelY 72780 0.16001337 -0.34047918 9.168091 -19.508020
    Unten links KachelX 68873 KachelY + 1 72781 0.15996543 -0.34052437 9.165344 -19.510609
    Unten rechts KachelX + 1 68874 KachelY + 1 72781 0.16001337 -0.34052437 9.168091 -19.510609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34047918--0.34052437) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dl = 287.90549000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34047918--0.34052437) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dr = 287.90549000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15996543-0.16001337) × cos(-0.34047918) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942594756955065 × 6371000     		do = 287.892701163099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15996543-0.16001337) × cos(-0.34052437) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.942579665298109 × 6371000     		du = 287.888091782605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34047918)-sin(-0.34052437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942594756955065-0.942579665298109)×R²
    abs(0.16001337-0.15996543)×1.50916569565673e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.50916569565673e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.50916569565673e-05×40589641000000     		ar = 82885.2256770016m²