Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68871 / 72450
↖ ↑ ↗
← S 18.651450°
E  9.159851°		 ← 289.39 m → S 18.651450°
E  9.162598°		 →
↑
289.37 m
↓
↑
289.37 m
↓
S 18.654052°
E  9.159851°		 ← 289.38 m →
83 739 m²		 S 18.654052°
E  9.162598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525447845458984 y=0.552753448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525447845458984 × 217)
    floor (0.525447845458984 × 131072)
    floor (68871.5)     		tx = 68871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552753448486328 × 217)
    floor (0.552753448486328 × 131072)
    floor (72450.5)     		ty = 72450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68871 / 72450 ti = "17/68871/72450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68871/72450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68871 ÷ 217
    68871 ÷ 131072     		x = 0.525444030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72450 ÷ 217
    72450 ÷ 131072     		y = 0.552749633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525444030761719 × 2 - 1) × π
    0.0508880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15986956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552749633789062 × 2 - 1) × π
    -0.105499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.331435723973068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15986956} λ = 0.15986956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.331435723973068))-π/2
    2×atan(0.717892297998495)-π/2
    2×0.622633557937951-π/2
    1.2452671158759-1.57079632675     		φ = -0.32552921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15986956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.159851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32552921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.651450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68871 KachelY 72450 0.15986956 -0.32552921 9.159851 -18.651450
    Oben rechts KachelX + 1 68872 KachelY 72450 0.15991750 -0.32552921 9.162598 -18.651450
    Unten links KachelX 68871 KachelY + 1 72451 0.15986956 -0.32557463 9.159851 -18.654052
    Unten rechts KachelX + 1 68872 KachelY + 1 72451 0.15991750 -0.32557463 9.162598 -18.654052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32552921--0.32557463) × R
    4.54199999999627e-05 × 6371000     		dl = 289.370819999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32552921--0.32557463) × R
    4.54199999999627e-05 × 6371000     		dr = 289.370819999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15986956-0.15991750) × cos(-0.32552921) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947481612319084 × 6371000     		do = 289.385272578927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15986956-0.15991750) × cos(-0.32557463) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947467085560338 × 6371000     		du = 289.380835732887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32552921)-sin(-0.32557463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947481612319084-0.947467085560338)×R²
    abs(0.15991750-0.15986956)×1.45267587462472e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.45267587462472e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.45267587462472e-05×40589641000000     		ar = 83739.0116894847m²