Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68871 / 44683
↖ ↑ ↗
← N 49.591129°
E  9.159851°		 ← 197.99 m → N 49.591129°
E  9.162598°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
N 49.589349°
E  9.159851°		 ← 198 m →
39 192 m²		 N 49.589349°
E  9.162598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525447845458984 y=0.340908050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525447845458984 × 217)
    floor (0.525447845458984 × 131072)
    floor (68871.5)     		tx = 68871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340908050537109 × 217)
    floor (0.340908050537109 × 131072)
    floor (44683.5)     		ty = 44683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68871 / 44683 ti = "17/68871/44683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68871/44683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68871 ÷ 217
    68871 ÷ 131072     		x = 0.525444030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44683 ÷ 217
    44683 ÷ 131072     		y = 0.340904235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525444030761719 × 2 - 1) × π
    0.0508880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15986956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340904235839844 × 2 - 1) × π
    0.318191528320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.999628167777031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15986956} λ = 0.15986956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999628167777031))-π/2
    2×atan(2.71727127157456)-π/2
    2×1.21816240422664-π/2
    2.43632480845327-1.57079632675     		φ = 0.86552848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15986956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.159851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86552848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.591129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68871 KachelY 44683 0.15986956 0.86552848 9.159851 49.591129
    Oben rechts KachelX + 1 68872 KachelY 44683 0.15991750 0.86552848 9.162598 49.591129
    Unten links KachelX 68871 KachelY + 1 44684 0.15986956 0.86549741 9.159851 49.589349
    Unten rechts KachelX + 1 68872 KachelY + 1 44684 0.15991750 0.86549741 9.162598 49.589349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86552848-0.86549741) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dl = 197.94697000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86552848-0.86549741) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dr = 197.94697000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15986956-0.15991750) × cos(0.86552848) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.648237801500673 × 6371000     		do = 197.988510219301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15986956-0.15991750) × cos(0.86549741) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.64826145906491 × 6371000     		du = 197.995735848365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86552848)-sin(0.86549741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648237801500673-0.64826145906491)×R²
    abs(0.15991750-0.15986956)×2.36575642366121e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36575642366121e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36575642366121e-05×40589641000000     		ar = 39191.9408416719m²