Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68871 / 44472
↖ ↑ ↗
← N 49.965356°
E  9.159851°		 ← 196.47 m → N 49.965356°
E  9.162598°		 →
↑
196.42 m
↓
↑
196.42 m
↓
N 49.963589°
E  9.159851°		 ← 196.47 m →
38 590 m²		 N 49.963589°
E  9.162598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525447845458984 y=0.339298248291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525447845458984 × 217)
    floor (0.525447845458984 × 131072)
    floor (68871.5)     		tx = 68871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339298248291016 × 217)
    floor (0.339298248291016 × 131072)
    floor (44472.5)     		ty = 44472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68871 / 44472 ti = "17/68871/44472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68871/44472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68871 ÷ 217
    68871 ÷ 131072     		x = 0.525444030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44472 ÷ 217
    44472 ÷ 131072     		y = 0.33929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525444030761719 × 2 - 1) × π
    0.0508880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15986956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33929443359375 × 2 - 1) × π
    0.3214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00974285359686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15986956} λ = 0.15986956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00974285359686))-π/2
    2×atan(2.74489508435911)-π/2
    2×1.22142814966756-π/2
    2.44285629933512-1.57079632675     		φ = 0.87205997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15986956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.159851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87205997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.965356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68871 KachelY 44472 0.15986956 0.87205997 9.159851 49.965356
    Oben rechts KachelX + 1 68872 KachelY 44472 0.15991750 0.87205997 9.162598 49.965356
    Unten links KachelX 68871 KachelY + 1 44473 0.15986956 0.87202914 9.159851 49.963589
    Unten rechts KachelX + 1 68872 KachelY + 1 44473 0.15991750 0.87202914 9.162598 49.963589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87205997-0.87202914) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dl = 196.417930000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87205997-0.87202914) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dr = 196.417930000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15986956-0.15991750) × cos(0.87205997) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.643250685520518 × 6371000     		do = 196.465316630596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15986956-0.15991750) × cos(0.87202914) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.643274290378124 × 6371000     		du = 196.472526161698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87205997)-sin(0.87202914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643250685520518-0.643274290378124)×R²
    abs(0.15991750-0.15986956)×2.36048576059966e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36048576059966e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36048576059966e-05×40589641000000     		ar = 38590.0188530946m²