Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68867 / 72451
↖ ↑ ↗
← S 18.654052°
E  9.148865°		 ← 289.38 m → S 18.654052°
E  9.151611°		 →
↑
289.37 m
↓
↑
289.37 m
↓
S 18.656655°
E  9.148865°		 ← 289.38 m →
83 738 m²		 S 18.656655°
E  9.151611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525417327880859 y=0.552761077880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525417327880859 × 217)
    floor (0.525417327880859 × 131072)
    floor (68867.5)     		tx = 68867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552761077880859 × 217)
    floor (0.552761077880859 × 131072)
    floor (72451.5)     		ty = 72451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68867 / 72451 ti = "17/68867/72451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68867/72451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68867 ÷ 217
    68867 ÷ 131072     		x = 0.525413513183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72451 ÷ 217
    72451 ÷ 131072     		y = 0.552757263183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525413513183594 × 2 - 1) × π
    0.0508270263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15967781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552757263183594 × 2 - 1) × π
    -0.105514526367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.331483660872688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15967781} λ = 0.15967781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.331483660872688))-π/2
    2×atan(0.717857885292293)-π/2
    2×0.622610848446572-π/2
    1.24522169689314-1.57079632675     		φ = -0.32557463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15967781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.148865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32557463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.654052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68867 KachelY 72451 0.15967781 -0.32557463 9.148865 -18.654052
    Oben rechts KachelX + 1 68868 KachelY 72451 0.15972575 -0.32557463 9.151611 -18.654052
    Unten links KachelX 68867 KachelY + 1 72452 0.15967781 -0.32562005 9.148865 -18.656655
    Unten rechts KachelX + 1 68868 KachelY + 1 72452 0.15972575 -0.32562005 9.151611 -18.656655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32557463--0.32562005) × R
    4.54200000000182e-05 × 6371000     		dl = 289.370820000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32557463--0.32562005) × R
    4.54200000000182e-05 × 6371000     		dr = 289.370820000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15967781-0.15972575) × cos(-0.32557463) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947467085560338 × 6371000     		do = 289.380835732887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15967781-0.15972575) × cos(-0.32562005) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.947452556846989 × 6371000     		du = 289.376398289862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32557463)-sin(-0.32562005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947467085560338-0.947452556846989)×R²
    abs(0.15972575-0.15967781)×1.4528713348505e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.4528713348505e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.4528713348505e-05×40589641000000     		ar = 83737.7277095203m²