Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68867 / 44643
↖ ↑ ↗
← N 49.662294°
E  9.148865°		 ← 197.70 m → N 49.662294°
E  9.151611°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 49.660517°
E  9.148865°		 ← 197.71 m →
39 072 m²		 N 49.660517°
E  9.151611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525417327880859 y=0.340602874755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525417327880859 × 217)
    floor (0.525417327880859 × 131072)
    floor (68867.5)     		tx = 68867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340602874755859 × 217)
    floor (0.340602874755859 × 131072)
    floor (44643.5)     		ty = 44643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68867 / 44643 ti = "17/68867/44643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68867/44643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68867 ÷ 217
    68867 ÷ 131072     		x = 0.525413513183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44643 ÷ 217
    44643 ÷ 131072     		y = 0.340599060058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525413513183594 × 2 - 1) × π
    0.0508270263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15967781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340599060058594 × 2 - 1) × π
    0.318801879882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.00154564376183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15967781} λ = 0.15967781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00154564376183))-π/2
    2×atan(2.7224865724912)-π/2
    2×1.21878344079485-π/2
    2.4375668815897-1.57079632675     		φ = 0.86677055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15967781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.148865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86677055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.662294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68867 KachelY 44643 0.15967781 0.86677055 9.148865 49.662294
    Oben rechts KachelX + 1 68868 KachelY 44643 0.15972575 0.86677055 9.151611 49.662294
    Unten links KachelX 68867 KachelY + 1 44644 0.15967781 0.86673953 9.148865 49.660517
    Unten rechts KachelX + 1 68868 KachelY + 1 44644 0.15972575 0.86673953 9.151611 49.660517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86677055-0.86673953) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86677055-0.86673953) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15967781-0.15972575) × cos(0.86677055) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.64729154247803 × 6371000     		do = 197.699498357079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15967781-0.15972575) × cos(0.86673953) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.647315186929566 × 6371000     		du = 197.706719981186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86677055)-sin(0.86673953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64729154247803-0.647315186929566)×R²
    abs(0.15972575-0.15967781)×2.36444515362422e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36444515362422e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36444515362422e-05×40589641000000     		ar = 39071.7530971264m²